Теорема 1

Каковы бы ни были m,n Z,

а ^m a ⁿ = a ^{m + n} , (а ^m) ⁿ = a ^{m n}

(соответственно ma + na = (m + n)a, n(ma) = (nm)a).

Простейшим примером циклической группы служит аддитивная группа (Z,+,0), порожденная обычной 1 или -1.

Матрица порождает в SL₂(Z) бесконечную циклическую подгруппу, здесь SL₂(Z) – множество всех 2 2 матриц с вещественными элементами и отличным от нуля определителем. Множество {1,-1} является по умножению циклической группой порядка 2. Пусть G – произвольная группа, а – некоторый ее элемент. Имеется две возможности.

1). Все степени элемента а различны, то есть m n a^m аⁿ . В этом случае говорят, что элемент а G имеет бесконечный порядок.

2).Имеются совпадения а^m =aⁿ при m n.

Если m>n, то а^m-n=е, то естьсуществуют положительные степени элемента а G равные единичному элементу. Пусть q наименьший положительный показатель а^q = е, тогда говорят, что а – элемент конечного порядка q.