Доказательство. Если - бесконечная циклическая группа, то все степени qn образующего q различны и мы получим изоморфизм f: (Z,+)

Если - бесконечная циклическая группа, то все степени qⁿ образующего q различны и мы получим изоморфизм f: (Z,+), полагая qⁿ f (qⁿ)=n. Биективность f очевидна, а свойство f (q^mqⁿ) = f (qⁿ) + f (q^m) вытекает из теоремы 1.

Пусть теперь G={e,q,q²,…,q^q-1} и G'={e',q',(q')²,…,(q')^q-1} две циклические группы порядка q. Операции в G и G' не различаем. Определим биективное отображение f: q^k (q')^k , k=0,1,…,q-1. Полагая m+ n = lq + r, 0 r q-1 для всех m,n=0,1,…, q-1.

f(qⁿ⁺ⁿ) = f(q^r) = (q') ^r = (q') ^m+n = (q') ⁿ (q') ^m = f(qⁿ)f(q^m).