Замена платежей

Под заменой платежей понимают такое изменение условий ФО, при котором один платеж, имеющий будущую стоимость и срок погашения , заменяют новым платежом, имеющим будущую стоимость и срок погашения . Если при этом изменяют срок погашения нового платежа по сравнению с ранее назначенным сроком , то задача сводится к определению будущей стоимости заменяющего платежа. В зависимости от используемой ставки можно выразить величину из соответствующего уравнения эквивалентности (6.2)–(6.5):

– при использовании простой процентной ставки

;

(6.11)

– при использовании сложной процентной ставки [2]

;

(6.12)

– при использовании простой учетной ставки

;

(6.13)

– при использовании сложной учетной ставки [2]

.

(6.14)

Полученные формулы показывают, что при увеличении срока по сравнению с будет увеличиваться и будущая стоимость по сравнению с , а при уменьшении по сравнению с будущая стоимость будет уменьшаться по сравнению с . Если сроки и равны, то никакой замены не происходит и стоимости и становятся равными.

Если сроки погашения платежей и заданы в днях , то с учетом формулы (1.6) можно преобразовать, например, формулу (6.11):

.

(6.15)

Каждая из формул (6.11)–(6.14), полученных на основе уравнений эквивалентности (6.2)–(6.5), содержит одновременно две операции: дисконтирование будущей стоимости заменяемого платежа за период времени до его современной стоимости и наращение этой стоимости за новый период времени до величины новой будущей стоимости заменяющего платежа. При этом фактически проис­ходит изменение стоимости до за дополнительный период времени . Формулы (6.12) и (6.14) характеризуют это изменение нагляднее, чем формулы (6.11) и (6.13). Для повышения наглядности формул (6.11) и (6.13) обозначим и, опустив элементарные преобразования этих формул, получим [5]:

– при использовании простой процентной ставки

;

(6.16)

– при использовании простой учетной ставки

.

(6.17)

Структура формулы (6.16) соответствует структуре формулы (2.2) и показывает, что сумма наращивается до суммы при величине скорректированной процентной ставки за период времени . Структура формулы (6.17) соответствует структуре формулы (2.16) и показывает, что сумма дисконти­ру­ется до суммы при величине скорректированной учетной ставки за период времени .

При изменении условий ФО участники могут прийти к соглашению об изменении будущей стоимости заменяющего платежа по сравнению с . Тогда задача сводится к определению срока погашения заменяющего платежа. Однако в соответствии с уравнением эквивалентности (6.1) сумма не может назначаться меньше приведенной стоимости , которую можно определить из уравнений (6.2)–(6.5). Если это условие не будет выполнено, то получится отрицательное значение срока погашения . В зависимости от используемой ставки можно выразить величину из соответствующего уравнения эквивалентности (6.2)–(6.5), причём для сложных ставок обе части уравнения после преобразований логарифмируют с использованием натуральных или десятичных логарифмов:

– при использовании простой процентной ставки

,

(6.18)

где ;

– при использовании сложной процентной ставки [2]

,

(6.19)

где ;

– при использовании простой учетной ставки

,

(6.20)

где ;

– при использовании сложной учетной ставки [2]

,

(6.21)

где .

Если сроки погашения платежей и заданы в днях , то с учетом формулы (1.6) можно преобразовать, например, формулу (6.18):

.

(6.22)

Формулы (6.19) и (6.21), нагляднее, чем формулы (6.18) и (6.20) показывают, что при изменении будущей стоимости до величины происходит изменение срока погашения от до . Для повышения наглядности формул (6.18) и (6.20), выразим срок погашения из формул (6.16) и (6.17) и получим [5]:

– при использовании простой процентной ставки

;

(6.23)

– при использовании простой учетной ставки

.

(6.24)

Пример 6.1. Платеж на сумму 25 000 рублей со сроком уплаты 8 мес. заменили новым пла­тежом со сроком уплаты: а) 6 месяцев, б) 10 месяцев. Ставка наращения – 20% годовых. Определить сумму заменяющего платежа для четырех основных ставок (, , , ).