2015-02-14
550
- Понятие сходимости числового ряда
Пусть 
последовательность действительных чисел,
- числовой ряд (1).
Составим последовательность частичных сумм:
последовательность частичных сумм
Если для ряда (1) существует предел последовательность частичных сумм при 
, равный числу 
, то ряд называется сходящимся, а число S – его сумма. В противном случае ряд (1) называется расходящимся.
Пример. Исследовать сходимость и найти сумму ряда 
Составляем последовательность частичных сумм:
- Свойства сходящихся рядов
остаток сходящегося ряда, 
последовательность остатка.
1. Необходимое условие сходимости: частичные суммы сходящегося ряда – ограничены: 
(это вытекает из того, что сходящаяся последовательность ограничена).
Приведём пример ряда, у которого частичные суммы ограничены, а сам ряд будет расходиться:
2. Необходимое условие сходимости: у сходящегося ряда предел общего члена равен нулю 
Доказательство. 
Доказано.
Рассмотрим пример расходящегося ряда, для которого 
неограниченная, наименьшее слагаемое 
.
Пример. 
расходится, т.к. 
Предположим, что 
противоречие.
3. Необходимое условие сходимости: у сходящегося ряда 
Доказательство. 
Доказано.
4. Сходимость ряда не нарушится, если добавить или отбросить конечное число слагаемых.
5. Множество сходящихся радов образуют линейное пространство:
если 
6. Критерий Коши: ряд (1) сходится 
фундаментальная, т.е. 
Пример. 
гармонический ряд (расходящийся).
т.е. не выполнен критерий Коши, ряд расходится.
-функция Римана
Задача. Исследовать сходимость ряда 
сумма бесконечной геометрической прогрессии. Доказать, что при 
ряд сходится, 
Решение.
