Геометрическое определение вероятности

Обобщением понятия классической вероятности на случай опытов с бесконечным числом исходов является понятие геометрической вероятности.

Пусть в результате опыта в некоторой области наудачупоявляется точка. Требуется определить вероятность события А, состоящего в том, что эта точка попадет в область , принадлежащую области . Эта вероятность вычисляется по формуле

,

где и – меры области и соответственно.

Под мерой будем понимать длину, площадь и объем в одно-, двух- и трехмерных пространствах соответственно.

Задачи

3.1. На пол, покрытый кафельной плиткой со стороной a =6 см, случайно падает монета радиуса r =2 см. Найти вероятность того, что монета целиком окажется внутри квадрата.

3.2. Задача о встрече. Два парохода должны подойти к одному причалу в течении суток. Время прихода пароходов независимо друг от друга. Найти вероятность того, что одному из пароходов придется ожидать освобождения причала, если время стоянки одного парохода один час, а другого – два часа.

3.3. Дано линейное уравнение ах = b. Если а выбирать из промежутка [0;8], а b из промежутка [0;10], то какова вероятность того, что корень уравнения будет больше 1?

3.4. Минное заграждение состоит из мин, расположенных в одну линию на расстоянии 50 м одна от другой. Ширина корабля 20 м. Какова вероятность, что корабль благополучно пройдет заграждение?

3.5. В шар вписан куб. Найти вероятность того, что выбранная наудачу внутри шара точка окажется внутри куба.

3.6. Два человека договорились о встрече в определенном месте в промежутке времени от 19.00 до 20.00. Каждый из них приходит наудачу, независимо от другого и ожидает 15 минут. Какова вероятность того, что они встретятся?

3.7. Какова вероятность того, что произведение двух наугад взятых правильных положительных дробей будет не больше 1/4?

3.8. Наудачу выбирают два числа из промежутка [0,1]. Какова вероятность того, что их сумма заключена между 1/4 и 1?

3.9. Стержень длины L ломают на три части, выбирая случайным образом места разлома. Найти вероятность того, что из полученных отрезков можно составить треугольник.

3.10. Расстояние от пункта А до пункта В автобус проходит за 2 мин, а пешеход за 15 мин. Интервал движения автобуса 25 мин. В некоторый момент времени пешеход отправляется пешком из пункта А в пункт В. Что вероятнее: догонит его в пути очередной автобус или нет?

3.11. Даны две концентрические окружности радиусов R₁ и R₂ (R₁ > R₂). Найти вероятность того, что отрезок, соединяющий две точки на большей окружности не пересечет меньшей окружности.

3.12. В круге радиуса r проведены хорды, параллельные заданному направлению. Какова вероятность того, что длина наугад взятой хорды меньше радиуса окружности, если равновозможны любые положения точки пересечения хорды с диаметром, перпендикулярным выбранному направлению?