Теоремы сложения и умножения вероятностей

Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий

.

Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий

.

Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления

.

Условной вероятностью Р_А(В) называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило.

Два события называются независимыми, если вероятность одного из них не зависит от того, произошло другое событие или не произошло.

Несколько событий называются независимыми в совокупности, если каждое из них и любая комбинация остальных событий, содержащая все оставшиеся события или только часть из них, являются независимыми.

Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие имело место

.

В частности, для независимых событий

,

т.е. вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Вероятность совместного появления нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, вычисленных при условии, что все предшествующие события имели место

.

Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий

.

Задачи

5.1. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для 1-го стрелка равна 0,7, а для 2-го – 0,8. Найти вероятность того, что а)при одном залпе в мишень попадает только один из стрелков; б)хотя бы один стрелок промахнулся.

5.2. Радист трижды вызывает корреспондента. Вероятность того, что будет принят первый вызов, равна 0,3, второй – 0,4, третий – 0,5. По условиям приема события, состоящие в том, что данный вызов будет услышан, независимы. Найти вероятность того, что корреспондент вообще услышит вызов.

5.3. В ящике содержатся 9 белых, 6 черных и 5 зеленых шаров. Наудачу вынимается один шар. Найти вероятность того, он окажется либо черным, либо зеленым.

5.4. Для того чтобы вывести из строя самолет, достаточно поразить оба двигателя или кабину пилота. Вероятность поражения одного двигателя p _1, второго – p _2, кабины пилота – p ₃. Агрегаты самолета поражаются независимо друг от друга. Найти вероятность того, что самолет будет выведен из строя.

5.5. Два стрелка делают по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания первого стрелка равна 0,7, а второго – 0,8. Найти вероятность того, что мишень будет поражена, если стрелки сделают по два выстрела?

5.6. Устройство содержит 2 независимо работающих элемента. Надёжность 1 из них равна 0,95, а другого – 0,92. Найти вероятность отказа устройства, если для этого достаточно, чтобы отказал хотя бы один элемент.

5.7. Среди партии из 100 изделий имеется 10 бракованных. С целью контроля из этой партии отбираются наугад 7 изделий. Если среди них окажется более двух бракованных, то бракуется вся партия изделий. Какова вероятность того, что партия изделий будет забракована?

5.8. Один студент выучил 20 из 25 вопросов программы, а второй – только 15. Каждому из них задают по одному вопросу. Найти вероятность того, что правильно ответят:

а) оба студента; б) только первый студент;

в) только один из них; г) хотя бы один из студентов.

5.9. Каждое из 4-х несовместных событий может произойти соответственно с вероятностями 0,012, 0,010, 0,006 и 0,002. Определить вероятность того, что в результате опыта произойдёт хотя бы одно из этих событий.

5.10. Вероятность хотя бы одного попадания в цель при четырёх выстрелах равна 0,9984. Найти вероятность попадания в цель при одном выстреле.

5.11. Водной комнате находятся 4 девушки и 7 юношей, в другой 10 девушек и 5 юношей. Наудачу выбирают по одному человеку из каждой комнаты. Найти вероятность того, что оба окажутся юношами или оба – девушками.

5.12. Рабочий обслуживает 3 станка, работающих независимо друг от друга. Вероятность того, что за смену первый станок не потребует внимания рабочего равна 0,9, второй – 0,8, третий 0,75. Найти вероятность того, что за смену:

а) только один станок потребует внимания;

б) хотя бы один станок потребует внимания;

в) только третий станок потребует внимания рабочего.

5.13. Вероятность одного попадания в цель при одном залпе из двух орудий равна 0,35. Найти вероятность попадания при одном выстреле первым орудием, если для второго орудия эта вероятность равна 0,75.

5.14. Найти вероятность того, что заказанный (в данный промежуток времени) междугородный разговор не состоится, если вероятность занятости всех каналов связи в этот промежуток 0,7, а вероятность отсутствия вызываемого лица равна 0,4.

5.15. Абонент забыл последнюю цифру телефона и набирает ее наугад. Какова вероятность того, что ему придется звонить не более чем в 5 мест?

5.16. В группе 8 человек, говорящих только на немецком языке, и 6 человек – только на финском. Какова вероятность того, что из двух наудачу выбранных людей оба говорят на одном языке?

5.17. Два орудия ведут стрельбу по цели. Вероятность попадания в цель для первого орудия 0,5, а для второго – 0,4. Найти вероятность хотя бы одного попадания в цель, если из каждого орудия сделано по 3 выстрела.

5.18. Стрелок произвел выстрел в мишень, которая состоит из центрального круга и двух концентрических колец. Вероятность попасть в центральный круг 0,2, в кольца 0,15 и 0,1 соответственно. Найти вероятность того, что стрелок не попал в мишень.