Теоретические и эмпирические модели

Теоретические модели получены как логическое следствие некоторых общепринятых фактов и законов.

Эмпирические модели получены посредством математической обработки данных наблюдений.

Для иллюстрации различия в способе получения моделей рассмотрим следующий пример. Получим модель равноускоренного движения разными способами.

Теоретический способ. В качестве исходной посылки для получения логического вывода примем два положения:

1) определение ускорения: ускорение – это вторая производная координаты по времени;

2) определение равноускоренного движения: движение называется равноускоренным, если ускорение постоянно.

Отсюда имеем следующее дифференциальное уравнение:

В результате двукратного интегрирования получим при нулевых начальных условиях уравнение

х (t) = a t ² / 2. (5.1)

Эмпирический способ. Проведем серию экспериментов, пуская шары по наклонному желобу, варьируя угол наклона желоба (для изменения ускорения) и его длину (для изменения времени). Получим данные, приведенные в таблице 5.2.

Таблица 5.2
a t
	37.5			-
			-	-

Видно, что при возрастании t вдвое путь при одинаковом a увеличивается в 4 раза, а при увеличении a вдвое путь возрастает также в два раза. Кроме того, ясно, что при a = 0 или t = 0 также и x = 0. Поэтому будем искать зависимость пройденного пути х от времени t и ускорения а в виде х = а ×(В t ² + C t). Воспользуемся методом наименьших квадратов для подбора значений коэффициентов B, C, при которых имеет место максимальное совпадением расчетных и экспериментальных данных. Получаем следующие значения: B = 0.5; C = 0, которые соответствуют уравнению (1.1).

Обычно теоретическая модель разрабатывается для того, чтобы объяснить механизм какого-нибудь явления, т.е. для установления причинно-следственной связи между отдельными элементами или параметрами явления. Эмпирическая модель обычно на это не способна. “Отчего ветер дует? Оттого что деревья качаются”. Подобное объяснение характерно для многих эмпирических моделей, которые устанавливают лишь видимую связь между частями системы. Часто выводы из этой связи получаются по принципу “Вместе с этим, – значит вследствие этого ”. Иногда подобный принцип оказывается действенным, но часто приводит к курьёзным ситуациям.

Пример 5.2. Исследования, проведённые в штате Нью-Джерси в 1955 году, установили, что существует тесная положительная связь между такими показателями, как IQ человека и размером его стопы. Проверка этих результатов показала, что исследованиям подвергались жители всех возрастов – от младенцев до взрослых, именно поэтому были получены такие выводы.

Пример 5.3. Исследования, проведённые в графстве Суссекс в 1950 году по определению факторов, влияющих на урожайность клевера, установили, что наиболее тесная положительная связь существует между урожайностью и количеством старых дев, проживающих в окрестностях исследуемого поля. Проверка этих результатов показала, что причинно-следственная связь действительно существует. Пожилые незамужние дамы, как правило, держали у себя по несколько кошек. Кошки активно истребляли крыс в окрестности поля. В результате крысы меньше разоряли гнёзда шмелей, которые являются практически единственными опылителями клевера.