Разложение в ряд Фурье функций произвольного периода

Пусть , определенная на отрезке , имеет период (, где l –– произвольное положительное число) и удовлетворяет условиям Дирихле.

Разложение функции в ряд Фурье на отрезке имеет вид

, (22)

где , . (23)

Ряд в правой части равенства (22) с коэффициентами, вычисляемыми по формулам (23), называется рядом Фурье для функции с периодом .

Замечание. Все теоремы, имеющие место для рядов Фурье –– периодических функций, остаются в силе и для рядов Фурье функций, период которых . В частности, если на отрезке –– четная, то ее ряд Фурье имеет вид

, (24)

где , , (25)

если –– нечетная функция, то

, (26)

где (). (27)

Пример 32. Разложить функцию на интервале в ряд Фурье. (рис. 5).

Решение. Данная функция –– нечетная, удовлетворяет условиям Дирихле.

По формулам (26) и (27) при имеем , где .

Вычислим

Таким образом, для .

«Обыкновенные дифференциальные уравнения»

Ниже приведены примеры решения задач с некоторыми методическими указаниями.

Пример 1. Найти общее решение уравнения .

Это линейное уравнение первого порядка. Положим y = U · V, тогда y' = U' · V + U · V'.

Имеем или .

Пусть . Отсюда и, значит, , т.е. .

Следовательно, , откуда и, значит, .

Имеем окончательно .

Пример 2. Найти общее решение уравнения .

Положим . Тогда и уравнение имеет вид или .

Проинтегрировав его, получим , или . Тогда .

Пример 3. Найти общее решение уравнения

Положим . Тогда .

Уравнение теперь имеет вид . Проинтегрировав его, получим или . Но . Следовательно,

Интегрируя, получаем Общий интеграл дифференциального уравнения имеет вид

Пример 4. Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения III порядка

Составим характеристическое уравнение: .

У него три действительных различных корня: , , . Следовательно, общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид Правая часть неоднородного уравнения имеет форму где — многочлен нулевой степени, a = 5 не является корнем характеристического уравнения. Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде , где A — постоянная, которую нужно найти. Тогда , , и получаем . Отсюда , . Следовательно, . Общим решением неоднородного уравнения будет

Пример 5. Найти вид общего решения уравнения .

Характеристическое уравнение имеет корни: , . Значит, общее решение соответствующего однородного уравнения будет равно . Правая часть уравнения имеет форму , где

a ₁ = 0,

a ₂ = 2.

Частное решение , соответствующее правой части , ищем в виде , а частное решение , соответствующее правой части , — в виде . Тогда общее решение неоднородного уравнения будет иметь вид .

Пример 6. Найти вид общего решения уравнения .

Характеристическое уравнение имеет корни и, значит, общее решение соответствующего однородного уравнения будет . Правая часть уравнения имеет форму . Поэтому частное решение неоднородного уравнения будем записывать в виде

так как пара ± i является корнями характеристического уравнения. Общее решение неоднородного уравнения будет иметь вид

Пример 7. Найти решение уравнения , удовлетворяющее условиям y (0) = 0, у ΄(0) = 0.

Характеристическое уравнение имеет два корня: k ₁ = 0, k ₂ = 2. Значит, общим решением соответствующего однородного уравнения будет .

Так как правая часть уравнения имеет форму , то частное решение неоднородного уравнения выберем в виде (так как a = 0 есть корень характеристического уравнения). Подставив в уравнение, получим

Отсюда –6 A = 1; 6 A – 4 B = 0; 2 B – 2 C = 0.

Следовательно, , , , а общее решение . Так как y (0) = C ₁ + C ₂ = 0, то C ₁ = – C ₂. Производная

при x = 0 равна нулю, значит и — искомое решение.

Пример 8. Найти общее решение уравнения .

Характеристическое уравнение k ² + 4 = 0 имеет корни k _1,2 = ±2 i. Значит, общее решение соответствующего однородного уравнения запишется в виде Y = C ₁cos2 x + C ₂sin2 x. Функция, стоящая в правой части дифференциального уравнения, имеет вид . Так как a = 1 не является корнем характеристического уравнения, то частным решением неоднородного уравнения будет . Подставив в уравнение , , получим , т.е. 5 A = 1, , , . Значит, частное решение неоднородного уравнения , а общее решение имеет вид

Пример 9. Найти общее решение уравнения

Однородному уравнению соответствует характеристическое уравнение k ² + 1 = 0. Его корни k _1,2 = ± i. Поэтому y ₁ = cos x и y ₂ = sin x будут решениями однородного уравнения.