Представление двойного интеграла в виде двукратного

I способ. Предположим, что область D представляет собой криволинейную трапецию, ограниченную прямыми x = a, x = b и кривыми , , причем функции , непрерывны и для всех (рис. 1).

Такая область называется правильной в направлении оси Oy: любая прямая, параллельная оси Oy, пересекает границу области D не более чем в двух точках. В этом случае двойной интеграл сводится к двукратному по формуле

. (1)

II способ. Если область D ограничена прямыми y = с и y = d (c < d), кривыми и , причем для всех (рис. 2), т.е. область D –– правильная в направлении оси Ox, то

(2)

Пример 1. В интеграле расставить пределы интегрирования двумя способами, если область ограничена линиями x = 1, y = x ², y = 2 x (x 1).

Решение. I способ. Изобразим область D (рис. 3а).

При каждом значении x [0; 1] переменная y изменяется от x ² до 2 x, т.е. область D можно представить в виде Тогда двойной интеграл можно представить в виде двукратного по формуле (1)

II способ. Чтобы воспользоваться формулой (2), нужно разбить область D на две части D ₁ и D ₂ так, как показано на рис. 3б. В области D ₁ переменная y изменяется от 0 до 1, а при каждом значении y переменная x изменяется от y /2 (значение x на прямой y = 2 x) до (значение x на параболе y = x ²). Поэтому по формуле (2) получаем