double arrow

Представление двойного интеграла в виде двукратного


I способ. Предположим, что область D представляет собой криволинейную трапецию, ограниченную прямыми x = a, x = b и кривыми , , причем функции , непрерывны и для всех (рис. 1).

Такая область называется правильнойв направлении оси Oy: любая прямая, параллельная оси Oy, пересекает границу области D не более чем в двух точках. В этом случае двойной интеграл сводится к двукратному по формуле

. (1)

II способ. Если область D ограничена прямыми y = с и y = d (c < d), кривыми и , причем для всех (рис. 2), т.е. область D –– правильная в направлении оси Ox, то

(2)

Пример 1. В интеграле расставить пределы интегрирования двумя способами, если область ограничена линиями x = 1, y = x2, y = 2x (x 1).

Решение. I способ. Изобразим область D (рис. 3а).

При каждом значении x [0; 1] переменная y изменяется от x2 до 2x, т.е. область D можно представить в виде Тогда двойной интеграл можно представить в виде двукратного по формуле (1)

.

II способ. Чтобы воспользоваться формулой (2), нужно разбить область D на две части D1 и D2 так, как показано на рис. 3б. В области D1 переменная y изменяется от 0 до 1, а при каждом значении y переменная x изменяется от y/2 (значение x на прямой y = 2x) до (значение x на параболе y = x2). Поэтому по формуле (2) получаем

.

В области D2 переменная y изменяется от 1 до 2, а при каждом значении y переменная x изменяется от y/2 до 1. По формуле (2) имеем

.

Итак,

.

Заказать ✍️ написание учебной работы
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Сейчас читают про: