Вычисление площадей плоских фигур, ограниченных замкнутыми линиями

Формулы для вычисления площадей плоских фигур с помощью двойного интеграла имеют вид:

1) в декартовой системе координат ;

2) в полярной системе координат .

Пример 4.1. Найти площадь области D, ограниченной эллипсом .

Решение 1. Так как эллипс симметричен относительно начала и осей координат, то S _фиг = 4 S ₁, где S ₁ –– четверть эллипса, лежащая в первой четверти (см. рис. 7). Для этой части эллипса x изменяется от 0 до a, y от 0 до .

2. (кв. ед.).

Последний интеграл вычислили с помощью подстановки x = a sin t, где .

Пример 4.2. Найти площадь части круга x ² + y ² 2 x, содержащейся вне окружности x ² + y ² = 1.

Решение. Изобразим данную область на координатной плоскости (рис. 8).

Так как уравнения линий, ограничивающих область интегрирования содержат сумму (x ² + y ²), то для вычисления интеграла выгодно перейти к полярной системе координат:

a) x ² + y ² = 1 → r = 1;

б) x ² + y ² = 2 x → r = 2cos .

Чтобы найти пределы изменения полярного угла , найдем координаты точек пересечения окружностей. Решая совместно уравнения r = 1 и r = 2cos , получаем 1 = 2cos или .

Рис. 8

Итак,