Применение двойного интеграла к решению задач механики

1. Масса плоской фигуры. Если для плоской пластинки D известна переменная плотность , то ее масса находится по формуле .

2. Статические моменты и координаты центра тяжести плоской фигуры.

Статические моменты фигуры D относительно осей Ox и Oy могут быть вычислены по формулам:

Координаты центра масс фигуры определяются по формулам:

, .

3. Моменты инерции плоской фигуры. Моментом инерции материальной точки массы m относительно оси l называется произведение массы m на квадрат расстояния d от точки до оси, т.е. M_l = m ∙ d ². Моменты инерции плоской фигуры относительно осей Ox и Oy могут быть вычислены по формулам:

Момент инерции фигуры относительно начала координат –– по формуле M ₀= M_x + M_y.

Пример 5. Вычислить массу пластинки, имеющей форму кольца, образованного концентрическими окружностями с радиусами 3 и 5, если плотность пластинки обратно пропорциональна расстоянию от центра этих окружностей.

Решение. Поместим начало координат в центр пластинки (рис. 9).

Масса плоской пластинки вычисляется по формуле: , где
D –– область пластинки, а –– плотность пластинки в точке (x; y). По условию , где k –– постоянный коэффициент пропорциональности. Отсюда