Вычисление объемов тел с помощью тройного интеграла

Объем тела V находится по формулам: или

– в декартовых координатах;

– в цилиндрических;

– в сферических.

Пример 8.1. Найти объем тела, ограниченного поверхностями: z = x ² + y ² и z = 1. Сделать чертеж.

Решение. Данное тело ограничено сверху плоскостью z = 1, снизу – параболоидом z = x ² + y ² (рис. 15). Объем тела находим, используя цилиндрические координаты:

(куб. ед.).

Пример 8.2. Найти объем тела, ограниченного поверхностями:

z = 4 x ²+ 2 y ²+ 1, x + y – 3 = 0, x = 0, y = 0, z = 0. Сделать чертеж.

Решение. Данное тело ограничено сверху частью параболоида z = 4 x ² + 2 y ² + 1, снизу –– плоскостью z = 0, боковые поверхности: x = 0, y = 0 x + y = 3 (рис. 16). Проекцией тела на плоскость xOy есть треугольник (рис. 17).

(куб. ед.).