Если область интегрирования образована цилиндрической поверхностью, то при вычислении тройного интеграла бывает удобно перейти к цилиндрическим координатам. При этом
. (6)
Если же область интегрирования есть шар или часть его, то вычисления лучше вести в сферических координатах:
;
;
. (7)
Пример 7.1. Вычислить , если область V ограничена поверхностями z = 0 и (z – 1)2 = x 2 + y 2.
Решение. 1. Область V представляет собой конус, при этом . Проекция этого конуса на плоскость xOy есть круг с центром в точке (0; 0) и R = 1.
2. Для вычисления интеграла удобней перейти к цилиндрическим координатам:
a)
;
б) ;
в) ;
Пример 7.2. Вычислить , где V –– шар: x 2 + y 2 + z 2 1.
Решение. Вычислим интеграл с помощью сферических координат: x = r cos sin , y = r sin sin , z = r cos . Тогда dxdydz = r 2sin d d d .
Граница области V –– сфера и ее уравнение имеет вид
x 2 + y 2 + z 2 = 1; r 2cos2 sin2 + r 2sin2 sin2 + r 2cos2 =
= r 2sin2 (cos2 + sin2 ) + r 2cos2 = r 2sin2 + r 2cos2 = r 2 = 1, т.е. r = 1.
Подынтегральная функция после замены переменных примет вид
, т.е. .
Новые переменные изменяются в следующих пределах:
|
|
, , .
Таким образом, согласно формуле (7)
.