Или сферических координат

Если область интегрирования образована цилиндрической поверхностью, то при вычислении тройного интеграла бывает удобно перейти к цилиндрическим координатам. При этом

. (6)

Если же область интегрирования есть шар или часть его, то вычисления лучше вести в сферических координатах:

;

;

. (7)

Пример 7.1. Вычислить , если область V ограничена поверхностями z = 0 и (z – 1)² = x ² + y ².

Решение. 1. Область V представляет собой конус, при этом . Проекция этого конуса на плоскость xOy есть круг с центром в точке (0; 0) и R = 1.

2. Для вычисления интеграла удобней перейти к цилиндрическим координатам:

a)

;

б) ;

в) ;

Пример 7.2. Вычислить , где V –– шар: x ² + y ² + z ² 1.

Решение. Вычислим интеграл с помощью сферических координат: x = r cos sin , y = r sin sin , z = r cos . Тогда dxdydz = r ²sin d d d .

Граница области V –– сфера и ее уравнение имеет вид

x ² + y ² + z ² = 1; r ²cos² sin² + r ²sin² sin² + r ²cos² =

= r ²sin² (cos² + sin² ) + r ²cos² = r ²sin² + r ²cos² = r ² = 1, т.е. r = 1.

Подынтегральная функция после замены переменных примет вид

, т.е. .

Новые переменные изменяются в следующих пределах:

, , .

Таким образом, согласно формуле (7)

.