double arrow

Или сферических координат

Если область интегрирования образована цилиндрической поверхностью, то при вычислении тройного интеграла бывает удобно перейти к цилиндрическим координатам. При этом

. (6)

Если же область интегрирования есть шар или часть его, то вычисления лучше вести в сферических координатах:

;

;

. (7)

Пример 7.1. Вычислить , если область V ограничена поверхностями z = 0 и (z – 1)2 = x 2 + y 2.

Решение. 1. Область V представляет собой конус, при этом . Проекция этого конуса на плоскость xOy есть круг с центром в точке (0; 0) и R = 1.

2. Для вычисления интеграла удобней перейти к цилиндрическим координатам:

a)

;

б) ;

в) ;

Пример 7.2. Вычислить , где V –– шар: x 2 + y 2 + z 2 1.

Решение. Вычислим интеграл с помощью сферических координат: x = r cos sin , y = r sin sin , z = r cos . Тогда dxdydz = r 2sin d d d .

Граница области V –– сфера и ее уравнение имеет вид

x 2 + y 2 + z 2 = 1; r 2cos2 sin2 + r 2sin2 sin2 + r 2cos2 =

= r 2sin2 (cos2 + sin2 ) + r 2cos2 = r 2sin2 + r 2cos2 = r 2 = 1, т.е. r = 1.

Подынтегральная функция после замены переменных примет вид

, т.е. .

Новые переменные изменяются в следующих пределах:

, , .

Таким образом, согласно формуле (7)

.


Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:  



Сейчас читают про: