Нахождение пределов интегрирования в тройном интеграле

Пусть областью интегрирования является тело, ограниченное снизу поверхностью z = z ₁(x; y), сверху поверхностью z = z ₂(x; y), причем z ₁(x; y) и z ₂(x; y) (z ₁(x; y) z ₂(x; y)) –– непрерывные функции в замкнутой области D, являющейся проекцией тела на плоскость Oxy (рис. 10).

Область V считается правильной в направлении оси Oz, если любая прямая, параллельная оси Oz, пересекает границу области не более чем в двух точках. Тогда для любой непрерывной в области V функции f (x; y; z) имеет место формула

(4)

сводящая вычисление тройного интеграла к вычислению двойного интеграла от однократного. При этом сначала вычисляется внутренний интеграл по переменной z при постоянных x и y в пределах изменения z. Нижней границей является аппликата точки А –– точки входа прямой в область V, параллельной оси Oz, т.е. z = z ₁(x; y); верхней границей –– аппликата точки B –– точки выхода прямой из области V, т.е. z = z ₂(x; y). Результат вычисления этого интеграла есть функция двух переменных x и y.

Если область D ограничена линиями: x = a, x = b (a < b), y = ₁(x), y = ₂(x), где ₁(x) и ₂(x) –– непрерывные на отрезке [ a; b ] функции, причем ₁(x) ₂(x) (рис. 11), то, переходя от двойного интеграла по области D к двукратному, получаем формулу

(5)

по которой вычисляется тройной интеграл в декартовых координатах.

Замечания.

1. Если область V более сложная, чем рассмотренная, то ее следует разбить на конечное число таких областей (правильных), к которым можно применить формулу (5).

2. Порядок интегрирования в формуле (5) при определенных условиях может быть иным.

Пример 6. Расставить пределы интегрирования в тройном интеграле , если область V ограничена поверхностями x = 0; y = 0; z = 0; y + z = 1; x = y ² + 1. Начертить область интегрирования.

Решение. 1. Изобразим схематически указанные поверхности, которые ограничивают тело V: x = 0 –– плоскость yOz, y = 0 –– плоскость xOz, z = 0 –– плоскость

xOy, y + z = 1 –– плоскость, пересекающая плоскость yOz по прямой z = 1 – y и параллельная оси Ox, x = y ² + 1 –– цилиндрическая поверхность с образующими, параллельными оси Oz (рис. 12). Проекция образовавшегося тела на плоскость xOy есть область интегрирования в двойном интеграле (рис. 13).