2015-02-24
2414
1. Вероятность суммы несовместных событий
Теорема. Если 
и 
– несовместные события, то справедлива формула
Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.
Следствие. Если 
, 
,..., 
– попарно несовместные события, то справедлива формула
.
Пример 1. Из колоды, содержащей 36 карт, наудачу вынимают 3 карты. Найти вероятность того, что среди них окажется хотя бы одна «дама»?
Решение. Обозначим
– из 3-х выбранных карт окажется хотя бы одна «дама»,
– из 3-х выбранных карт окажется одна «дама»,
– из 3-х выбранных карт окажется две «дамы»,
– из 3-х выбранных карт окажется три «дамы».
Тогда 
, причем события , , – несовместные. Поэтому
.
Число возможных случаев выбора трех карт из 36 равно 
. Число случаев, благоприятных событиям , , , соответственно равны
, 
, 
.
Таким образом,
.
Задача решается проще, если воспользоваться формулой вероятности противоположного события.
Событие 
- среди выбранных карт нет ни одной дамы.
.
Значит искомая вероятность
.
2. Теорема умножения вероятностей
Событие называется независимым от события , если вероятность события не зависит от того, произошло событие или нет. Событие называется зависимым от события , если вероятность события меняется в зависимости от того, произошло событие или нет.
Вероятность события , вычисленная при условии, что имело место другое событие , называется условной вероятностью события и обозначается 
или 
. Читается так: вероятность события при условии, что произошло событие .
Пример 2. Брошена игральная кость. Событие - выпала цифра 4.
Безусловная (обычная) вероятность 
.
Пусть известно, что произошло событие – выпала четная цифра (т.е. 2, 4, 6) – всего три возможных исхода. Событию благоприятствует один из них – цифра 4, следовательно, условная вероятность 
.
Теорема. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место:
или 
.
Если событие не зависит от события , то и событие не зависит от события . Тогда
.
Пример 3. Выборка шаров без возвращения. Пусть в урне находится 10 шаров: 3 белых и 7 черных. Выбираем наудачу один шар; не возвращая его в урну, выбираем второй шар. С какой вероятностью оба шара будут белыми?
Решение. Пусть событие заключается в том, что первый раз вынут белый шар, его вероятность 
. Если событие произошло, то в урне осталось 2 белых и 7 черных шаров. Вероятность того, что второй шар тоже является белым – это условная вероятность , она составляет 
. Тогда по теореме умножения вероятностей
.
3. Вероятность суммы совместных событий
Теорема. Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме их вероятностей без вероятности их произведения
.
Пример 4. Бросают две игральные кости. Какова вероятность появления хотя бы одной шестерки?
Решение. Введем обозначения:
– появление шестерки на первой кости,
– появление шестерки на второй кости.
Тогда 
– появление хотя бы одной шестерки при бросании двух костей.
События и совместные. По формуле суммы двух совместных событий находим
.
