2015-02-24
858
Точечные оценки параметров не дают информации о степени близости к соответствующему теоретическому параметру. Если объем выборки мал, то точечная оценка может значительно отличаться от оцениваемого параметра, т.е. приводить к грубым ошибкам. Вычисленная точечная оценка может быть близка к оцениваемому параметру, а может и очень сильно отличаться от него. Точечная оценка не несет информацию о точности процедуры оценивания.
Интервальная оценка – это числовой интервал, который определяется двумя числами – границами интервала - и содержащий неизвестный параметр генеральной совокупности.
Пусть имеется выборка объема 
и 
- статистическая оценка неизвестного параметра 
( - случайная величина, т.к. найдена по выборочным данным).
Доверительным интервалом называется интервал со случайными границами (
, 
), в котором с заданной вероятностью 
находится оцениваемый параметр
Вероятность называется доверительной вероятностью.
Доверительная вероятность задается априорно. Чем ближе к единице, тем точнее оценка. Для практических целей обычно выбирают 
; 0,99 или 0,9973. Доверительная вероятность, например, 0,95 означает, что мы пренебрегаем возможностью появления события (считаем его невозможным), вероятность которого меньше 1-0,95=0,05.
|
|
|
Т.к. при различных выборках получаются различные значения оценки , то и доверительные границы изменяются от выборки к выборке. Поэтому лучше говорить не о вероятности попадания параметра в доверительный интервал, а о вероятности того, что доверительный интервал накроет параметр .
Доверительный интервал применяется в случае сравнительно небольшого объема выборки, когда предполагается, что надежность точечной оценки может быть невысокой.
Доверительный интервал для оценки математического ожидания случайной величины 
с заданной надежностью 
в случае нормального закона распределения определяется на основе неравенств
,
где 
— значение аргумента функции Лапласа, получаемое из таблиц (см. Приложение 1), с учетом того, что 
;
— известное среднее квадратичное отклонение или его оценка;
— объем выборки.
Пример 1. Найти доверительный интервал с надежностью 0,95 для оценки математического ожидания нормально распределенной случайной величины , если известны ее среднее квадратическое отклонение 
, выборочное среднее 
и объем выборки 
.
Решение. По надежности из соотношения находим значение функции Лапласа: 
.
По таблице значений функции Лапласа (см. Приложение 1) находим 
. Используя неравенства для интервальной оценки математического ожидания, получаем
или 
.
