Пример выполнения задания №9

С помощью метода Ньютона решить следующую систему уравнений, результаты получить с точность 0,1.

1. Согласно метода Ньютона имеем следующую систему уравнений:

2. Находим частные производные:

3. Записываем систему уравнений метода Ньютона:

где

Так как заданная точность равна 0,1, то все вычисления необходимо проводить с точностью как минимум на порядок выше. Поэтому в расчетах будем учитывать два знака после запятой, т.е. расчеты вести с точностью не хуже чем 0,01.

4. Выбираем нулевое приближение: x⁽⁰⁾=1, y⁽⁰⁾=0. Для определения первого приближения имеем следующую систему уравнений относительно Dx и Dy:

5. Решая эту систему, получаем: Dx=0,5; Dy=-0,5. Находим первое приближение: x⁽¹⁾=x⁽⁰⁾+Dx=1,5 и y⁽¹⁾=y⁽⁰⁾+Dy=-0,5. Так как ½Dx½>0,1 и ½Dy½>0,1; то находим второе приближение, для вычисления которого имеем следующую систему уравнений:

6. Имеем: Dx=-0,04; Dy=0,38. Отсюда получаем второе приближение:

x⁽²⁾=x⁽¹⁾+Dx=1,46 и y⁽²⁾=y⁽¹⁾+Dy=-0,12. Так как ½Dx½<0,1 и ½Dy½>0,1; то записываем систему для третьего приближения:

7. Получаем: Dx=-0,11 и Dy=-0,84. Имеем x⁽³⁾=x⁽²⁾+Dx=1,35 и y⁽³⁾=y⁽²⁾+Dy=-0,96. Так как ½Dx½>0,1 и ½Dy½>0,1; то записываем систему для четвертого приближения:

8. Получаем: Dx=-0,1 и Dy=0,24. Имеем x⁽⁴⁾=x⁽³⁾+Dx=1,25 и y⁽⁴⁾=y⁽³⁾+Dy=-0,72. Так как ½Dx½=0,1 и ½Dy½>0,1; то записываем систему для пятого приближения: