Осесимметричное обтекание острого конуса

Глава 9

ОБТЕКАНИЕ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ

СВЕРХЗВУКОВЫМ ПОТОКОМ

Коническим называют поток, в котором параметры газа на конической поверхности сохраняются постоянными. Они изменяются только при переходе с одной конической поверхности на другую.

Осесимметричным называют течение, обладающее симметрией относительно оси тела. В этом случае течение газа во всех меридиональных плоскостях одинаково, и движение газа можно изучать как плоское в одной из меридиональных плоскостей.

Осесимметричное обтекание острого конуса

Рассмотрим осесимметричное () обтекание конуса с углом полураствора сверхзвуковым потоком.

Результаты решения задачи осесимметричного обтекания острого конуса используются в следующих случаях:

а) для определения коэффициента волнового сопротивления конических головных частей корпусов ЛА;

б) в качестве исходных данных для численного расчета обтекания конусов при ;

в) в качестве начальной точки при расчете обтекания тел с криволинейной образующей;

г) для приближенного расчета распределения давления по поверхности тел более сложной формы.

При симметричном обтекании конуса с углом полураствора ( при заданном числе Маха ) перед ним возникает присоединенный конический скачок уплотнения с вершиной в вершине конуса (рис. 9.1). Задача расчета обтекания конуса сводится к нахождению угла полураствора конического скачка и поля скоростей (и давлений) между скачком уплотнения и конусом. Поскольку поток около конуса осессимметричный, то будем рассматривать одну меридиональную плоскость. Довольно просто убедиться, что для всех плоскостей, перпендикулярных продольной оси конуса, граничные условия (при и ) одинаковы, и течения между конусом и скачком уплотнения геометрически подобны. То есть в сходственных точках этих сечений параметры потока (, ) одинаковы. Геометрическим местом сходственных точек являются конические поверхности, расположенные между поверхностью конуса и скачком уплотнения. Течения подобного рода называются коническими.

Задача решается в полярной системе координат с полюсом в вершине конуса. Зафиксируем некоторую промежуточную коническую поверхность с углом полураствора . Вследствие конического характера течения составляющие скорости потока на этой поверхности не зависят от координаты :

Кроме того, ввиду прямолинейности образующей скачка уплотнения при переходе через фронт скачка по любой линии тока энтропия возрастает одинаково (потери механической энергии одинаковы), и течение между конусом и скачком является изоэнтропическим и потенциальным (безвихревым). Следовательно, составляющие вектора скорости можно записать через потенциал скорости : . Для осесимметричного конического потока потенциал скорости можно представить в виде . Тогда составляющие скорости равны

и . (9.1)

Исключив из выражений (9.1), получим первое уравнение для определения составляющих скорости в виде

. (9.2)

Вторым уравнением, связывающим искомые величины , является уравнение неразрывности , которое для осесимметричного установившегося течения можно записать в сферических координатах:

или

. (9.3)

Исключим из выражения (9.3) . Поскольку течение между конусом и скачком изоэнтропическое, воспользуемся формулами изоэнтропического течения (4.9) и . Продифференцировав выражение для плотности и учитывая, что , произведем замены с учетом выражения (9.2): . После подстановки этого выражения в уравнения (9.3) получаем следующее: . Из этого равенства получаем второе уравнение для расчета и . В итоге получаем систему двух уравнений:

(9.4)

Эта система дифференциальных уравнений определяет все поле скоростей между скачком уплотнения и конусом. Для решения системы необходимо задать граничные условия. В данной задаче имеем следующие граничные условия:

1) на поверхности конуса, где нормальная составляющая вектора скорости равна (из условия непротекания), тогда из второго уравнения системы , т. е. составляющая скорости направлена по касательной к поверхности конуса и равна скорости на поверхности конуса: ;

2) на поверхности скачка уплотнения, где составляющие скорости и должны удовлетворять основным соотношениям для косого скачка уплотнения (см. гл. 6):

а) касательная составляющая скорости при переходе через скачок уплотнения не изменяется: ;

б) нормальная составляющая (она же ) должна удовлетворять формуле Прандтля для косого скачка уплотнения:

. (9.5)

Знак «минус» в левой части явился следствием того, что положительным считается направление в сторону увеличения угла , поэтому составляющая скорости , направленная к поверхности конуса, отрицательная.

Систему дифференциальных уравнений при заданных граничных условиях можно решить методом численного интегрирования. Интегрирование можно начать как с поверхности конуса, задаваясь значением и , так и с поверхности скачка, задаваясь углом и числом Маха (скоростью ). В первом случае в результате решения системы находим и поле скоростей в области между конусом и скачком уплотнения; во втором случае – угол и поле скоростей, в том числе и величину скорости на поверхности конуса .

Для численного интегрирования систему дифференциальных уравнений приведем к безразмерному виду и представим в виде уравнений в конечных разностях, в которых ; ; – приращение угла ; – угол промежуточного конуса (). Величина при начале расчетов с поверхности скачка уплотнения определяется как (при ), при расчете с поверхности конуса – как (при ).

Тогда

(9.6)

Рассмотрим кратко порядок ведения расчета при интегрировании с поверхности конуса. Зададимся углом полураствора конуса и скоростью на его поверхности. Зададимся приращением , т. е. шагом интегрирования. На нулевом шаге () имеем следующее: и .

Делаем первый шаг по углу : . Из первого уравнения системы (9.6) получаем , так как и . Подставим полученное значение во второе уравнение системы и найдем на промежуточном конусе с углом и т. д. Интегрирование проводим до тех пор, пока не будет выполняться условие (9.5) на поверхности скачка, также приведенное к безразмерному виду.

Рассчитаем число

, соответствующее заданной скорости на поверхности конуса, затем параметры

за скачком уплотнения и параметры поля течения между скачком и конусом, используя формулы изоэнтропического течения.

Найдем коэффициент волнового сопротивления изолированного конуса, отнесенный к площади наибольшего сечения (площади донного среза конуса). Сила лобового сопротивления, действующая на конус (рис. 9.2), равна

так как . Поскольку повышенное давление на поверхности конуса создается за счет потерь части механической энергии сверхзвукового потока в скачке уплотнения, то возникающее за счет этого сопротивление называют волновым. Тогда коэффициент сопротивления, он же коэффициент волнового сопротивления, равен

. (9.7)

Таким образом, можно сделать заключение, что коэффициент волнового сопротивления изолированного конуса численно равен коэффициенту давления на его поверхности .

Коэффициент давления на поверхности конуса рассчитывается по общему выражению для коэффициента давления: .

Расчеты показывают, что скорость потока на поверхности конуса меньше, чем за скачком уплотнения, а угол поворота потока при переходе через конический скачок уплотнения меньше угла конуса < . Угол наклона вектора скорости при перемещении от скачка к конусу увеличивается до . Поэтому линии тока в возмущенной области (в отличие от клина) являются криволинейными (рис. 9.3).

Скорость потока вдоль этих линий уменьшается, а давление возрастает. Следовательно, при обтекании конуса поток испытывает сначала ударное сжатие на скачке уплотнения, а затем изоэнтропическое повышение давления (сжатие) в области между скачком и поверхностью конуса. Вследствие этого волновые потери (волновое сопротивление) конуса при прочих равных условиях () меньше, чем для клина. Угол наклона конического скачка уплотнения при одинаковой величине и меньше угла наклона плоского косого скачка уплотнения, а максимальный угол поворота , до которого скачок остается присоединенным, при этом больше, чем для плоского скачка уплотнения (рис. 9.4).