Смешанное произведение векторов

Рассмотрим произведение трех векторов , и , составленное следующим образом: , то есть первые два вектора и умножаются векторно, а их результат скалярно на третий вектор . Такое произведение векторов называется векторно-скалярным или смешанным и обозначается , то есть .

Смешанное произведение трех векторов , и представляет собой число, равное объему параллелепипеда, построенного на этих векторах (см. рис. 11), взятое со знаком «плюс», если эти три вектора образуют правую тройку и со знаком «минус», если они образуют левую тройку векторов.

Свойства смешанного произведения:

1) ;

2) ;

3) ; , ;

4) Если , то векторы , и компланарны.

Смешанное произведение трех векторов , и заданных своими координатами, то есть , , вычисляется по формуле:

.

Пример. Вычислить смешанное произведение векторов , , .