2015-03-22
590
Пусть в прямоугольной декартовой системе координат на плоскости 
задана точка 
и вектор 
. Требуется составить уравнение прямой 
, проходящей через точку 
и перпендикулярной вектору 
. (см. рис. 13)
Выберем произвольную точку 
на прямой . Тогда вектор 
лежит на прямой . Так как прямая перпендикулярна вектору по условию, то и вектор 
перпендикулярен вектору , а значит 
, откуда
. (3.1)
Уравнение (3.1) является уравнением прямой на плоскости, проходящей через точку 
и перпендикулярной вектору .
Всякий вектор, перпендикулярный прямой называется вектором нормали прямой. Вектор является вектором нормали прямой .
Пример. Составить уравнение прямой , проходящей через точку 
и перпендикулярной вектору 
, если 
и 
.
Решение. Находим координаты вектора , являющимся вектором нормали прямой :
.
Подставляя в уравнение (3.1) координаты точки , то есть 
, 
и координаты вектора 
, то есть 
, 
, находим искомое уравнение прямой :
: 
или
: 
или
: 
Ответ: .
Преобразуем уравнение (3.1) следующим образом:
или 
.
Обозначив 
, получаем общее уравнение прямой на плоскости вида:
. (3.2)
Исследуем уравнение (3.2):
1. При 
, 
, 
уравнение (3.2) примет вид:
.
Разделив обе части последнего уравнения на 
или 
,
обозначив 
, 
получаем уравнение прямой на плоскости в «отрезках» вида:
, (3.3)
где 
и 
величины отрезков, которые прямая отсекает от осей координат (см. рис. 14).
Пример. Составить уравнение прямой , проходящей через точку и отсекающей от осей координат равные отрезки (см. рис. 15).
Решение. Пусть уравнение искомой прямой имеет вид (3.3), то есть 
. Так как 
по условию, то уравнение (3.3) можно переписать в виде: 
или 
.
Поскольку точка лежит на прямой , то подставляя ее координаты 
, 
в последнее уравнение, находим: 
, откуда 
. Следовательно, 
– уравнение искомой прямой.
Ответ: 
.
Пример. Построить прямую 
.
Решение. Приведем заданное уравнение к уравнению вида (3.3):
; 
;
; 
.
Отметим на оси 
точку 
, а на оси 
точку 
и через эти точки проведем прямую. Это и будет искомая прямая (см. рис. 16).
Уравнение (3.2) можно переписать и другим образом:
или 
.
Обозначив 
, 
, получим уравнение прямой с угловым коэффициентом 
:
(3.4)
Угловой коэффициент равен тангенсу угла 
наклона прямой к положительному направлению оси (см. рис. 17), то есть 
.
Из рисунка 17 следует, что для любой точки 
выполняется равенство 
.
Пример. Составить уравнение прямой , проходящей через точку и образующей с положительным направлением оси угол 
.
Решение. Пусть искомое уравнение прямой запишется в виде (3.4) . По условию 
, значит 
, следовательно 
.
Поскольку точка лежит на прямой , то подставляя в последнее уравнение , находим: 
, откуда 
.
Таким образом, искомое уравнение прямой имеет вид: 
.
Ответ: .
Пусть прямая проходит через точку и ее направление характеризуется угловым коэффициентом , тогда уравнение этой прямой можно записать в виде:
,
где – пока неизвестная величина.
Так как точка лежит на прямой , то ее координаты удовлетворяют уравнению прямой , то есть имеет место равенство: 
, откуда 
. Подставляя значение в уравнение 
, получаем: 
или
(3.5)
Уравнение (3.5) с различными значениями называется также уравнением пучка прямых с центром в точке .
Из этого пучка нельзя определить лишь прямую, параллельную оси , так как 
.
Пример. Составить уравнение прямой , проходящей через точку пересечения прямых 
и 
и образующей с положительным направлением оси угол 
.
Решение. Координаты точки пересечения прямых 
и 
находим из системы уравнений этих прямых:
Сложив эти уравнения в данной системе, получаем: 
, откуда . Тогда 
.
Итак, координаты точки 
.
По условию 
, значит 
. Подставляя в уравнение (3.5) 
и , 
находим искомое уравнение прямой
или
или
.
Ответ: 
.
2. При , , 
уравнение (3.2) примет вид: 
.
Это уравнение прямой , проходящей через начало координат – точку 
и точку 
. (См. рис. 18)
Пример. Построить прямую 
.
Решение. Уравнение прямой является общим уравнением прямой на плоскости 
, 
, , проходящей через точку 
и точку 
. (См. рис. 19)
3. При 
, , уравнение (3.2) примет вид: 
или 
. Это уравнение прямой на плоскости параллельной оси и проходящей через точку 
. (См. рис. 20)
Пример. Построить прямую 
.
Решение. Уравнение прямой является общим уравнением прямой на плоскости , 
, 
, параллельной оси и проходящей через точку 
. (См. рис. 21).
4. При , 
, уравнение (3.2) примет вид: 
или 
.
Это уравнение прямой на плоскости параллельной оси и проходящей через точку 
. (См. рис. 22)
Пример. Построить прямую 
.
Решение. Уравнение прямой является общим уравнением прямой на плоскости , , 
параллельной оси и проходящей через точку 
. (См. рис. 23)
5. При , , уравнение (3.2) примет вид: 
или 
. Это уравнение координатной оси (См. рис. 24)
6. При , , уравнение (3.2) примет вид: 
или 
. Это уравнение координатной оси . (См. рис. 25)
Итак, рассмотрены все возможные случаи общего уравнения (3.2) прямой на плоскости.
Выведем уравнение прямой , проходящей через две заданные точки 
и 
на плоскости в прямоугольной декартовой системе координат. (См. рис. 26)
Поскольку точка лежит на прямой то, подставляя 
и 
в уравнение (3.5), находим, что уравнение прямой имеет вид:
, (3.6)
где – пока неизвестный коэффициент.
Так как прямая проходит и через точку , то ее координаты должны удовлетворять уравнению (3.6), то есть:
, откуда 
.
Подставляя найденное значение в уравнение (3.6), получим уравнение прямой, проходящей через точки 
и 
:
(3.7)
Пример. Составить уравнение прямой , проходящей через точки 
и 
.
Решение. Подставляя в уравнение (3.7) 
, 
и 
, 
, находим искомое уравнение прямой :
; 
; 
; 
, следовательно, 
.
Ответ: 
.
