2015-03-22
421
Пусть две прямые 
и 
заданы уравнениями с угловыми коэффициентами 
и 
, соответственно, то есть 
; 
. Требуется найти угол 
, на который надо повернуть прямую 
, вокруг точки их пересечения до совпадения с прямой . (См. рис.27)
По теореме о внешнем угле треугольника, имеем: 
или 
. Если 
, то
.
Но так как 
и 
, то
(3.8)
Таким образом, формула (3.8) позволяет находить угол между двумя прямыми на плоскости.
Пример. Найти угол между прямыми 
и 
.
Решение. Запишем общее уравнение заданных прямых и в виде уравнений с угловыми коэффициентами и , соответственно:
или 
, значит 
;
, значит 
.
Подставляя найденные значения и в формулу (3.8), находим угол между прямыми и :
, откуда 
.
Ответ: .
Заметим, что если требуется вычислить острый угол между прямыми, то правая часть формулы (3.8) берется по модулю, то есть
.
Если прямые ; параллельны, то 
и 
, следовательно, из формулы (3.8) получаем, что 
, то есть 
. И обратно, если прямые и таковы, что 
, значит , то есть прямые параллельны.
Если прямые и перпендикулярны, то 
, следовательно 
, откуда 
. Справедливо и обратное утверждение.
Пример. Составить уравнение прямой , проходящей через точку 
и перпендикулярной прямой 
.
Решение. Перепишем общее уравнение прямой 
в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом 
:
, 
, 
, значит 
.
Прямые и перпендикулярны по условию, значит 
, следовательно, 
.
Подставляя в уравнение (3.5) 
, 
, 
находим искомое уравнение прямой :
Ответ: 
.
