Формулы дифференцирования

Основные формулы дифференцирования – в таблице. Их необязательно зазубривать. Поняв некоторые закономерности, вы сможете из одних формул самостоятельно выводить другие.

1) Начнем с формулы (k x + m)′ = k.
Ее частными случаями являются формулы x ′ = 1 и C′ = 0.

Поясним.

В любой функции вида у = kx + m производная равна угловому коэффициенту k.

Например, дана функция у = 2 х + 4. Ее производная в любой точке будет равна 2:

(2 х + 4)′ = 2.

Производная функции у = 9 х + 5 в любой точке равна 9. И т.д.

А давайте найдем производную функции у = 5 х. Для этого представим 5 х в виде (5 х + 0). Мы получили выражение, похожее на предыдущее. Значит:

(5 х)′ = (5 х + 0)′ = 5.

Наконец, выясним, чему равна x ′.
Применим прием из предыдущего примера: представим х в виде 1 х + 0. Тогда получим:

x ′ = (1 х + 0)′ = 1.

Таким образом, мы самостоятельно вывели формулу из таблицы:

x ′ = 1.

Идем дальше. Пусть k = 0. Мы знаем, что производная равна коэффициенту. То есть:

(0 · x + m)′ = 0.

Но тогда получается, что m′ тоже равна 0. Пусть m = C, где C – произвольная постоянная. Тогда мы приходим к еще одной истине: производная постоянной равна нулю. То есть получаем еще одну формулу из таблицы:

C′ = 0.

37. Табличные производные элементарных функций.

38. Дифференциал функции и его геометрический смысл. Свойства дифференциалов первого порядка.

Дифференциа́льное уравне́ние — уравнение, связывающее значение производной функции с самой функцией, значениями независимой переменной, числами (параметрами). Порядок входящих в уравнение производных может быть различен (формально он ничем не ограничен). Производные, функции, независимые переменные и параметры могут входить в уравнение в различных комбинациях или все, кроме хотя бы одной производной, отсутствовать вовсе. Не любое уравнение, содержащее производные неизвестной функции, является дифференциальным уравнением. Например, не является дифференциальным уравнением.^{[ источник не указан 65 дней ]}

Дифференциальное уравнение порядка выше первого можно преобразовать в систему уравнений первого порядка, в которой число уравнений равно порядку исходного уравнения.

Порядок, или степень дифференциального уравнения — наивысший порядок производных, входящих в него.

Решением (интегралом) дифференциального уравнения порядка n называется функция y (x), имеющая на некотором интервале (a, b) производные до порядка n включительно и удовлетворяющая этому уравнению. Процесс решения дифференциального уравнения называется интегрированием. Задача об интегрировании дифференциального уравнения считается решённой, если нахождение неизвестной функции удается привести к квадратуре, независимо от того, выражается ли полученный интеграл в конечном виде через известные функции или нет.