2015-03-22
887
Теорема 1 (о производной сложной функции). Если функция u (x) дифференцируема в точке x 0, а функция y = f (u) дифференцируема в соответствующей точке u 0 = u (x 0), тогда сложная функция
F (x) = f (u (x)) дифференцируема в точке x 0, причем
| F '(x 0) = f '(u 0) · u '(x 0). |
Доказательство приведено в книге И.М. Петрушко и Л.А. Кузнецова “Курс высшей математики: Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление.” М.: Изд–во МЭИ, 2000. Стр. 101.
В условиях теоремы 1 справедлива формула для дифференциала сложной функции
| d F (x 0) = f '(u 0) · u '(x 0) dx. | (1) |
Инвариантность формы первого дифференциала
Поскольку u '(x 0) dx = du, то формулу (1) можно представить в виде
| d f (u) = f '(u 0) du. |
Последняя формула показывает, что дифференциал функции выражается формулой одного и того же вида (одной и той же формы), как в случае функции независимой переменной, так и в случае функции от функции. Это свойство дифференциала называют инвариантностью формы.
Логарифмическое дифференцирование
Пусть надо найти производную функции вида
| y = u 1(x) v 1(x) · … · un (x) vn (x) · w 1(x) · … · wm (x), | (2) |
где все функции в правой части дифференцируемы в некоторой точке x. Для этого удобно предварительно прологарифмировать равенство (2) и воспользоваться свойствами логарифмов.
41. Неявно заданные функции и их дифференцирование.
