Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Мы убедились, что, в случае когда известно общее решение линейного однородного уравнения, можно по методу вариации произвольных постоян­ных найти общее решение неоднородного уравнения. Однако вопрос о том, как найти общее решение однородного уравнения, остался открытым. В частном случае, когда в линейном дифференциальном уравнении (3) все коэффициенты р_i (х) = а_i − константы, он решается достаточно просто, даже без интегрирования.

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами, т. е. уравнения вида

y ⁽ⁿ⁾ + а ₁ y ^{(n – 1)} +… а_{n – 1} y' + а_ny = 0, (14)

где а_i − константы (i = 1, 2,..., n).

Как известно, для линейного однородного уравнения 1-го порядка реше­нием является функция вида е ^kx. Будем искать решение уравнения (14) в виде j (х) = е ^kx.

Подставим в уравнение (14) функцию j (х) и ее производные порядка m (1 ≤ m ≤ n) j ^(m)(х) = k^mе ^kx. Получим

(kⁿ + а ₁ k^{n – 1} +… а_{n – 1} k + а_n) е ^kx = 0,

но е ^kх ≠ 0 при любом х, поэтому

kⁿ + а ₁ k^{n – 1} +… а_{n – 1} k + а_n = 0. (15)

Уравнение (15) называется характеристическим уравнением, многочлен, стоящий в левой части, − характеристическим многочленом, его корни − характеристическими корнями дифференциального уравнения (14).

Вывод: функция j (х) = е ^kx − решение линейного однородного уравне­ния (14) тогда и только тогда, когда число k − корень характеристического уравнения (15).

Таким образом, процесс решения линейного однородного уравнения (14) сводится к решению алгебраического уравнения (15).

Возможны различные случаи характеристических корней.

1. Все корни характеристического уравнения действительные и различные.

В этом случае n различным характеристическим корням k ₁, k ₂, ..., k_n со­от­ветствует n различныx решений однородного уравнения (14)

Можно показать, что эти решения линейно независимы, следовательно, образуют фундаментальную систему решений. Таким образом, общим реше­нием уравнения является функция

где С ₁, C ₂ ,..., С_n − произвольные константы.

Пример 7. Найти общее решение линейного однородного уравнения:

а) у ′′(х) − 6 у ′(х) + 8 у (х) = 0,

б) у ′′′(х) + 2 у ′′(х) − 3 у ′(х) = 0.

Решение. Составим характеристическое уравнение. Для этого заменим произ­вод­ную порядка m функции y (x) на соответствующую степень

k (у ^(m)(x) ↔ k^m),

при этом сама функция у (х) как производная нулевого порядка заменяется на k ⁰ = 1.

В случае (а) характеристическое уравнение имеет вид k ²− 6 k + 8 = 0. Корни этого квадратного уравнения k ₁ = 2, k ₂ = 4. Так как они действительные и различные, то общее решение имеет вид j (х) = С ¹ е ^{2 х} + С₂ е ^{4 х} .

Для случая (б) характеристическим уравнением является уравнение 3-й степени k ³ + 2 k ² − 3 k = 0. Найдем корни этого уравнения:

k (k ² + 2 k − 3) = 0 ⇒ k = 0 и k ² + 2 k − 3 = 0 ⇒ k = 0, (k − 1)(k + 3) = 0,

т. е. k ₁ = 0, k ₂ = 1, k ₃ = −3.

Этим характеристическим корням соответствует фундаментальная сис­те­ма решений дифференциального уравнения:

j1(х) = е ^{0 х} = 1, j2(х) = е ^х, j3(х) = е ^{−3 х} .

Общим решением, согласно формуле (9), является функция

II. Все корни характеристического уравнения различные, но среди них есть комплексные.

Все коэффициенты дифференциального уравнения (14), а следовательно, и его характеристического уравнения (15) − действительные числа, значит, если cреди характеристических корней есть комплексный корень k ₁ = а + ib, то есть и сопряженный ему корень k ₂ = а − ib. Первому корню k ₁ соответст­вует решение дифференциального уравнения (14)

j₁(х) = е ^{(a + ib) х} = е^aхе^ibх = е^aх (cosbx + isinbx)

(воспользовались формулой Эйлера е^iх = cosx + isinx). Аналогично, корню k ₂ = а − ib соответствует решение

j₂(х) = е ^{(a - ib) х} = е ^aхе ^{− ibх} = е^aх (cosbx − isinbx).

Данные решения являются комплексными. Чтобы получить из них действии­тельные решения, воспользуемся свойствами решений линейного однородного уравнения. Функции

являются действительными решениями уравнения (14). Кроме того, эти реше­ния линейно независимы Таким образом, можно сделать следующий вывод.

Правило 1. Паре сопряженных комплексных корней а ± ib характерис­ти­ческого уравнения в ФСР линейного однородного уравнения (14) соответ­ст­вует два действительных частных решения

П р и м е р 8. Найти общее решение уравнения:

а) у ′′(х) − 2 у ′(х) + 5 у (х) = 0;

б) у ′′′(х) − у ′′(х) + 4 у ′(х) − 4 у (х) = 0.

Решение. В случае уравнения (а) корнями характеристического уравне­ния k ² − 2 k + 5 = 0 являются два сопряженных комплексных числа

k _{1, 2} =

Следовательно, им, согласно правилу 1, соответствует два действительных линейно независимых решения: а общим решением уравнения является функция

j (х) = С ₁ е^хcos 2 x + С ₂ е^хsin 2 x.

В случае (б), чтобы найти корни характеристического уравнения k ³ − k ² + 4 k − 4 = 0, разложим на множители его левую часть:

k ²(k − 1) + 4(k − 1) = 0 ⇒ (k − 1)(k ² + 4) = 0 ⇒ (k − 1) = 0, (k ² + 4) = 0.

Следовательно, имеем три характеристических корня: k ₁ = 1, k _{2, 3} = ± 2 i. Корню k ₁ соответствует решение , а паре сопряженных комплекс­ных корней k _{2, 3} = ± 2 i = 0 ± 2 i − два действительных решения:

и .

Составляем общее решение уравнения:

j (х) = С ₁ е^х + С ₂ cos 2 x + С ₃ sin 2 x.

III. Cреди корней характеристического уравнения есть кратные.

Пусть k ₁ − действительный корень кратности m характеристического уравнения (15), т. е. среди корней есть m равных корней. Каждому из них соответствует одно и то же решение дифференциального уравнения (14) . Однако включить m равных решений в ФСР нельзя, так как они составляют линейно зависимую систему функций. Можно показать, что в слу­чае кратного корня k ₁решениями уравнения (14), кроме функции являются функции

Функции j ₁(х), j ₂(х), …, j_m (х) линейно независимы на всей числовой оси, т.к.

,

т. е. их можно включить в ФСР.

Правило 2. Действительному характеристическому корню k ₁ кратнос­ти m в ФСР соответствует m решений:

Если k ₁ − комплексный корень кратности m характеристического уравне­ния (15), то существует сопряженный ему корень кратности m. По аналогии получаем следующее правило.

Правило 3. Паре сопряженных комплексных корней a ± ib в ФСР соот­ветствует 2m действительных линейно независимых решений:

П р и м е р 9. Найти общее решение уравнения:

а) у ′′′(х) + 3 у ′′(х) + 3 у ′(х) + у (х)= 0;

б) у^IV (х) + 6 у ′′ (х) + 9 у (х) = 0.

Решение. В случае (а) характеристическое уравнение имеет вид

k ³ + 3 k ² + 3 k + 1 = 0

или

(k + 1)³ = 0,

т. е. k = −1 − корень кратности 3. На основании правила 2 записываем общее решение:

j(х) = С 1 + С 2 e ^{− x} + С 3 x ² e ^{− x}.

Характеристическим уравнением в случае (б) является уравнение

k ⁴ + 6 k ² + 9 = 0

или, иначе,

Имеем пару сопряженных комплексных корней, каждый из которых кратности 2. Согласно правилу 3 общее решение записывается в виде

j (х) = С ₁ cos x+ С ₂ xcos x+ С ₃ sin x+ С ₄ xsin x.

Из сказанного выше следует, что для любого линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами можно найти фундаментальную систему решений и составить общее решение. Следовательно, решение соот­ветствующего неоднородного уравнения при любой непрерывной функции f (x) в правой части можно найти, используя метод вариации произвольных постоянных.

Пример 10. Методом вариации найти общее решение неоднородного уравнения у ′′(х) − у ′(х) − 6 у (х) = x e ^{2 x} .

Решение. Сначала найдем общее решение соответствующего однород­ного уравнения у ′′(х) − у ′(х) − 6 у (х) = 0. Корнями характеристического урав­нения k ² − k − 6 = 0 являются k ₁ = 3, k ₂ = −2, а общим решением однородного уравнения − функция = С ₁ е ^{3 х} + С ₂ е ^{−2 х} .

Будем искать решение неоднородного уравнения в виде

у (х) = С 1(х) е ^{3 х} + С 2(х) е ^{−2 х} . (*)

Найдем определитель Вронского

W [ е ^{3 х} , е ^{−2 х} ] =

Составим систему уравнений (12) относительно производных неизвестных функций С ′₁(х) и С ′₂(х):

Решая систему по формулам Крамера, получим

Интегрируя, найдем С ₁(х) и С ₂(х):

Подставляя функции С ₁(х) и С ₂(х) в равенство (*), получим общее решение уравнения у ′′(х) − у ′(х) − 6 у (х) = x e ^{2 x} :