Замечательные пределы. Найдем предел отношения двух многочленов, т.е

Найдем предел отношения двух многочленов, т.е. , где

P (x) = a ₀ xⁿ + a ₁ x^{n– 1} +…+a_n, Q (x) = b ₀ x^m + b ₁ x_{m– 1} +…+b_m. Преобразуем данную дробь следующим образом

Таким образом,

Первый замечательный предел:

Второй замечательный предел: , где е постоянная, которая приблизительно равна 2,718281828…

Часто если непосредственное нахождение предела какой-либо функции представляется сложным, то можно путем преобразования функции свести задачу к нахождению замечательных пределов.

Кроме трех, изложенных выше, пределов можно записать следующие полезные на практике соотношения:

При решении многих задач используются следующие эквивалентности, верные при х ®0:

1. ~ х;

2. 1–cos x ~ ;

3. tg x ~ x;

4. arcsin x ~ x;

5. arctg x ~ x;

6. ln (1+ x) ~ x;

7. a^x –1 ~ x ln a;

8. ~ .