Уравнение неразрывности. Выделим внутри движущейся жидкости элементарный параллелепипед авсда1в1с1д1 (рис

Выделим внутри движущейся жидкости элементарный параллелепипед АВСДА ₁ В ₁ С ₁ Д ₁(рис. 3.4), через который протекает жидкость.

Рис. 3.4

За время dt через левую грань АВСДА в параллелепипед втекает масса жидкости

, а вытекает через правую грань А ₁ В ₁ С ₁ Д ₁ А ₁масса

Плотность ρ и скорость U на входе в общем случае не равны плотности ρ ₁ и скорости U ₁ на выходе. При этом изменение ρ и U обусловлено изменением только координаты x, так как втекание и вытекание происходит одновременно. Поэтому

; .

Следовательно,

dtdydz= dtdydz.

Но , а - величина высшего порядка малости относительно других слагаемых и ею можно пренебречь. Поэтому

Изменение массы вследствие движения вдоль координатной оси ОХ

Аналогично найдем, что в итоге движения жидкости вдоль осей ОХ и ОZ изменение массы за время dt соответственно будет:

;

Следовательно, общее изменение массы за время dt:

Это изменение массы равно изменению, обусловленному изменением плотности. В начальный момент времени t_H масса внутри параллелепипеда

dM_H =ρdxdydz.

К конечному моменту времени t_К=t_H+dt плотность изменяется. Это изменение происходит независимо от координат, поэтому

Следовательно, в конечный момент t_К масса жидкости в параллелепипеде

dM_К = .

Таким образом, приращение массы за время dt из-за изменения плотности:

При условии неразрывности , т. е.

или после сокращения на dxdydzdt

. (3.15)

Выражение (3.15) - искомое уравнение неразрывности. При установившемся движении плотность от времени не зависит и . Поэтому уравнение неразрывности примет вид

. (3.16)

Для несжимаемой жидкости (ρ = const) уравнение неразрывности

. (3.17)

Неразрывность движения применительно к струйке жидкости (рис. 3.3). Выделим в струйке бесконечно близкими сечениями dω ₁ и dω ₂, находящимися на расстоянии dS друг от друга, объем

Масса жидкости, вошедшая в рассматриваемый объем через сечение dω ₁ в течение промежутка времени dt при расходе в струйке dQ, равна ρdQdt. Масса, вышедшая через противоположное сечение dω ₂, равна

Разность поступающей и вышедшей масс должна, очевидно, равняться изменению за тот же промежуток времени массы ρdωdS,первоначально заключавшейся в выделенном объеме, то есть

Следовательно,

откуда

или

. (3.18)

В случае мало сжимаемой жидкости изменением плотности ρ вдоль пути dS можно пренебречь (считать, что ) и придать уравнению неразрывности более простой вид:

. (3.19)

Для несжимаемой жидкости (ρ=const) уравнение неразрывности ещё проще:

. (3.20)

В случае, когда

, (3.21)

откуда dQ =const или, так как dQ=Udω,

Udω = const. (3.22)

Таким образом, объемный расход жидкости остается неизменным на всем протяжении элементарной струйки.

Так как расход потока жидкости равен сумме расходов элементарных струек, условие сплошности (неразрывности) потока для несжимаемой жидкости можно записать в виде

.(3.23)