Обобщенные функции

Мы будем говорить, что задан линейный непрерывный функционал f на пространстве К, если указано правило, в силу которого с каждой основной функцией j(x), сопоставлено некоторое вещественное число ( f,j) и при этом выполнены следующие условия:

а) для любых двух вещественных чисел a₁ и a₂, и любых двух основных функций j₁(x) и j₂(x) имеет место равенство:

(свойство линейности функционала f )

б) непрерывность функционала f

(f,j₁), (f,j₂), …, (f,j_n) cходится к (f,j).

Итак:

(4)

где f(x) - абсолютно интегрируемый функционал в конечной области пространства R_n; j(x) - основная функция. С помощью этой функции f(x) мы можем каждой основной функции j(x) сопоставить (4).

Это интегрирование осуществляется по ограниченной области, вне которой функции j(x) обращается в нуль.

Функционал вида (4) есть частный случай линейного непрерывного функционала на пространстве К.

Определение d - функции

Если функционал ставит в соответствие каждой функции j(x) её значение в т. x₀, т.е.

, (5)

то функционал f(x) будем называть d - функцией

(6)

и сдвинутой d - функцией

(7)