2015-03-27
419
Последовательность обобщённых функций 
по определению сходится к обобщённой функции f, если для любой основной функции j(x) 
lim (fn,j) = (f,j) (8)
n®¥
Можно, разумеется, считать, что n пробегает также и непрерывное множество значений - определение предельного перехода остаётся таким же.
Аналогично, ряд из обобщённых функций 
называется сходящимся к обобщённой функции 
, если последовательность частичных сумм этого ряда
сходится к обобщённой функции.
Пример.
Последовательность регулярных функционалов может иметь пределом сингулярный функционал. Так, функционал
(9)
совпадает при 
с обычной функцией 1/x, неинтегрируемой в любой окрестности начала координат, и потому, не являющийся регулярным. Но, из самого построения видно, что этот функционал есть предел при 
регулярных функционалов, отвечающих функциям 1/x при 
и равным нулю 
.
Можно показать, что каждый сингулярный функционал есть предел регулярных.
