Метод вариаций произвольной постоянной

Для того, чтобы найти решение уравнения (9.2), рассмотрим однородное уравнение, соответствующее (9.2), то есть

У' + Р(*)У = 0 (9.3)

Как известно решение уравнения (9.3) задается формулой

(9.15)

Чтобы найти общее решение уравнения (9.2) мы применим прием, называемый вариацией постоянного. Мы будем пытаться удовлетворить неоднородному уравнению (9.2) решением того же вида (9.15), но будем в этой формуле считать С не постоянным, a известной функцией от х. Подставляя в этом предположении правую часть выражения (9.15) в уравнение (9.2), получим

C найдется из этого уравнения квадратурой.

Подставляя найденное значение С в выражение (9.15), получим общее решение неоднородного линейного уравнения (132) •

(9.16)

Итак, общее решение линейного уравнения первого порядка находится двумя квадратурами.