Уравнение вида. Уравнение вида (11.12) также интегрируется в квадратурах

(11.12)

Уравнение вида (11.12) также интегрируется в квадратурах. Введение нового переменного z = у ^(n-2) приводит уравнение (11.12) к виду

,F(z",z) = 0 (11.13)

Если уравнение (11.13) разрешено относительно z", т.е. имеет вид

z" = f(x) (11.14)

то один из методов его интегрирования таков:

умножив обе части на 2г', получаем или в дифференциалах

d(z'²) = 2f(z)dz

Откуда

Последнее уравнение можно разрешить относительно производной и разделив переменные получим

Отсюда находим общий интеграл уравнения (11.14)

Этот интеграл поле замене z на у^(n-2) получает вид

Ф(z,х,С,С₂) = 0

То есть уравнение вида (11.5') интегрируется, как мы уже знаем, квадратурами, причем эта интеграция дает еще п-2 произвольных постоянных, и мы получим общее решение уравнения (11.12) Если уравнение (11.12) дано в не разрешенном относительно 6" виде, но известно его паргметрическое представление

(11.12')

то интеграция совершается следующим образом. МІы имеем два равенства

связывающих две неизвестные функции от t, именно х и у; исключая делением dx, получаем зная уравнение относительно для у^n-0

или в силу (11.12') имеем

откуда квадратурой находим (у^(n-1) далее получим

Имея параметрическое представление у^n-1 и у^(n-2), мы свели задачу к типу (11.11') рассмотренному в §3. Дальнейшие квадратуры введут n-1 произвольных постоянных.

Пример 11.6: Полагая у^// = z приходим к уравнению

а²z^//=z,

умножая обе части на 2z' имеем 2а²z^/z^//=2zz^/ или

интегрируя находим

Вторая интеграция дает

или

Чтобы разрешить последнее уравнение относительно z, выгодно поступить следующим образом: делим единицу на обе части последнего равенства

в левой части освобождаемся от иррациональности в знаменателе, затем умножая обе части на – N₁ получаем

складывая это уравнение с исходным и деля на 2, получаем

Подставляя вместо z его значение уⁿ и интегрируя два раза, находим

у = Аеⁿ + Beⁿ + Сх + D где A, B, C, D - произвольные постоянные.