Уравнения, не содержащие явно независимого переменного

20 21 22 23 24 25 26

Пусть уравнение (12.1), то есть уравнение вида

F(x,y,y',y″,...yⁿ)=0 (12.1)

не содержит явно независимого переменного х, то есть

F(y,y',y″,...yⁿ)=0 (12.10)

Здесь мы проведем такую замену переменных: в качестве новой искомой функции вводим

Z=dy/dx; за независимое переменное принимает у.

Вычисляем в этом предположении производные различных порядков

y'=z(y);

Таким образом,вторая производная от у по х выражается через z и dz /dу, третья производная выражается через z его производные не выше второго порядка. Легко доказать методом полной индукции, что выражается через Подставляя выражения для у″, у″',...yⁿ в новых переменных в уравнение (12.10), получим новое дифференциальное уравнение порядка n-1

(12.11)

Если его удастся по интегрировать, то его общий интеграл Φ(y,z,С₁,С₂,...С_n-1)=0 или Ф (у, dy/dx, С₁,С₂,...С_n-1)=0

который является промежуточным для уравнения (12.10), дает дифференциальное уравнение первого порядка, интегрируемое в квадратурах.

Рассмотрим частный случай, то есть уравнение вида

Y″=f(x, y') или F(y, y',y″)=0 (12.10^/)

Для его решения снова положим

y'=z(y) (12.12)

у^// = z(dz/dy) (12.12^/)

(12.12) и (12.12') подставляя в уравнение (12.10') получим уравнение первого порядка относительно вспомогательной функции z

z *d z /dу =f(y,z), (12.13)

интегрируя его, найдем z как функцию от у и произвольного с,

z=Р(у,с,),

подставляя в (12.2) получим дифференциальное уравнение первого порядка дляфункции у от хdy\dx =р(у,с,) разделяя переменные находим , интегрируя это уравнение, получим общий интеграл исходного уравнения: ф(х,у,с 1,с 2)=0