Уравнения, не содержащие явно искомой функции

Пусть уравнение n-го порядка не содержит явно искомой у, для общности предположим, что оно не содержит ее к-1 первых производных у ',у″,…. У⁽^k^-1) и низшая производная, явно входящая в уравнение, есть

У⁽^k⁾ (1≤к≤n-1)

Уравнение имеет вид:

F(х, у⁽^k⁾,⁽^k⁺¹⁾, …у⁽ⁿ⁾)=0 (12.4)

Полагая у⁽^k⁾ =z, мы заменяем уравнение (12.4) уравнением

F(х, z, z', z⁽ⁿ^-^k⁾)=0 (12.4')

Порядка n-к. Противоположность случаем,рассмотренным в лекции 11 здесь мы не можем утверждать что уравнение (12.4') всегда интегрируется в квадратурах. Но вместо уравнения n-го порядка мы получили уравнение порядка n-к< n. Допустим что сумели найти общий интеграл уравнения (12.4')

Φ(x, z, С₁, С₂, …,С _{п -к})=0 (12.5)

Уравнения (12.5) есть промежуточный интеграл уравнения (12.4), содержащий n-к постоянных. Само уравнение (12.5) принадлежит к типу (12.5'), то есть заведомо интегрируется в квадратурах, и, решая. его найдем общий интеграл уравнения (12.4). Если к=n, мы непосредственно имеем уже рассмотренное нами уравнения. Рассмотрим частный уравнения (12.4), то есть уравнение вида

y″= f (x,y') (12.6)

или

F (x, y',y″)=0 (12.6')

Пологая y'= z, y″= z' и подставляя в (12.6) мы получим уравнение первого порядка

Z'= f (x, z)

или

dz / dx f(x,z)

Отсюда

Z= P(x,C₁)

Учитывая, что z=y', получим общий интеграл уравнения (12.6)

Y= ∫P(x,C₁)dx+C₂ (12.7)

Пример 12.2:Найти частное решение уравнения