Степенные ряды

Определение 19.1. Степенным рядом называется функциональный ряд:

, (19.1)

члены которого есть суть произведения постоянных а₀,а₁,а₂,...,а_n,... на степенные функции с целыми показателями степеней от разности х-х₀ . Постоянные а₀,а₁,а₂...,а_п,... называются коэффициентами степенного ряда. В частности, если х₀=0, то будем иметь степенной ряд, расположенный по степеням х:

(19.2)

В дальнейшем мы будем изучать именно такие степенные ряды, потому что всякий степенной ряд подстановкой Х=х-х₀ преобразуется к ряду указанного вида.Для удобства п -м членом степенного ряда называется член несмотря на то, что он стоит на (п+1) -м месте. Свободный член ряда а₀ считают нулевым членом ряда.

Определение 19.2. Если при х=х₀ степенной ряд (19.2) превращается в сходящийся числовой ряд, то будем говорить, что х₀ есть точка сходимости степенного ряда; в противном случае х₀ есть точка расходимости.

Степенные ряда обладают многими важными свойствами, к рассмотрению которых мы и приступим.