Непрерывность функции.Свойства непрерывных функции

Пусть функция f(z) определена на множестве Е и точка а принадлежит множеству Е.

Определение 24.4. Функция f(z) называется непрерывной в точке а, если для любого e>0 существует такое d>о, что для всех , удовлетворяющих условно |Z- a |<d выполняется неравенство

|f(z)- f(а)|< e

если точка а является предельной точкой множества Е, то непрерывность функции f(z)в точке а означает, что

f(z) =f(a)

Функция f(z) называется непрерывной на множестве Е, если она непрерывна на каждой точке этого множества.

Ясно, что сумма, равенство и произведение непрерывных функций комплексной переменной являются непрерывными функциями, а частное двух непрерывных функций f(z) и g(z) является непрерывной функцией в тех точках, в которых знаменатель

g (z) , g (а)

* Свойства непрерывных функций

Если f(z) непрерывна на замкнутом ограниченном множестве D

1.Ограничена на нем, то есть существует такая постоянная М, что D |f(z)|<M

2.Достигает свого наибольшего и своего наименьшего по модулю значении. то есть в D существует такие точки Z₁ и Z_2, что

f (z₁)=М= f (z), f(z₂)=m= f(z)

3.Равномерная непрерывность D удовлетворяет неравенство |f(z₁)-f(z₂)|< e

Часто будут рассматриваться функции, непрерывные в области и непрерывные в замыкании области. Имеют место следующие утверждения:

Непрерывная в области D функция равномерно непрерывна в любой ограниченной области D такой,

что Ì D

1.Если функция f(z) равномерно непрерывна в ограниченной области D, то ее можно доопределить в граничных точках области D так, что получится функция непрерывная в D.

2.Если функция =f(z) непрерывна в области D и реализует взаимно однозначное отображение этой области на некоторое множество в плоскости , то также является областью и обратная функция Z= непрерывна в .