Тригонометрические функции

Функция sinZ и cosZ для комплексных значений Z определяются формулами

sinz= ;cosz= ; (24.9)

Из этого определения вытекают следующие свойства функций sinz и cosz

1. Функция sinz и cosz непрерывны во всей комплексной плоскости.

2. Функция sinz и cosz принимают все значения, т.е. уравнения sinz=A и cosz=A имеют решения для любого комплексного числа А.

3. Все формулы элементарной тригонометрии справедливы при всех комплексных значениях Z.Например,

Sin²z+cos²z=1, sin2z=2sinz cosz

Sin(z₁+z₂)=sinz₁cosz₂+cosz₁ sinz₂

Sin(z₁+z₂)=sinz₁cosz₂+cosz₁ sinz₂

В частности,

А) sin(z+2 )=sinz cos(z+2 )=cosz

Т.е. функции Sinz и cosz являются периодическими с периодом 2

Б) sin(-z)= -sinz cos(-z)=cosz то есть sinz- нечетная функция, а cosz – четная функция

4. Для любого z=x+iy имеют место неравенства

<|sinz|< (24.10)

<|cosz|< (24.11)

Докажем неравенства (24.10). Из формулы (24.8) с помощью неравенства треугольника получаем

<|sinz|<

Отсюда, учитывая, что /e^iz/=/e^-y e^ix/=e^-y/e^ix/=e^-y; /e^-iz/=e^y получаем (24.10). Таким образом, доказывается формула (24.11)

4. Имеют место формулы

Sin(x+iy)=sinx chy+icosxshy,

Cos(x+iy) =cosxchy-isinx shy.

Из этих формул или из (24.10), (24.11) можно видеть, в частности, что уравнение sinz=0 и cosz=0 имеют решения только при у=0, т.е. только на действительной оси. Следовательно, все решения уравнения z=0 даются формулой Z=k k=0 , а все решения уравнения cosz=0 находится по формуле

Z= /2+ k k=0

Функция tgz и ctgz определяются формулами tgz=sinz/cosz xtgz=cosz/sinz

Из свойства 1 и 5 следует, что функция tgz непрерывна при z /2+k а функция ctgz непрерывна при z k где k=0 …