Пример 24.2

16 17 18 19 20 21 22

Число z= +i записать в показательной форме.

Решение: так как |Z|= = argZ=arctgy/x=arctg то по формуле (24.2.) можно записать

Пусть дано комплексноe число Z,Z Z

Число называется натуральным логарифмом числа Z,если е =Z

Все значения логарифма Z обозначают Lnz, найдем эти значения, если z=r(cos +isin ), а =u+iv то по определению логарифма

е ^u+iv=r(cos +isin )

или

е^u (cosV+isinV)=r(cos +isin )

отсюда следует, е^u=rV=argZ=argZ+2 k k=0 . Так как , то !

действительное значение . Поэтому .

Таким образом, всякое комплексное число Z¹0, Z¹ имеет бесконечное множество значений натурального логарифма. Все они описываются формулой.

(*)

Однозначная функция lnZ=ln|Z|+iArgZ называется главным значением логарифма.

Пример.24.3. Найти все значения ln(1+i)

Решение. По формуле (*) находим

= , m=0,

Если а действительно и а>0, то

Ln a =ln a +2 m. Среди всех значений логарифма действительного, как мы уже отмечали, положительного числа, лишь одно действительно совпадает с главным значением логарифма.

Легко проверяется равенство

Пример.24.4. Найти число Z, если известно, что LnZ .

Решение. Из определения логарифма следует, что , .То есть число Z расположено в третьей четверти, поэтому x<0, y<0. Из условия , , x<0, y<0, находим x=-2, y=-4. Следовательно, Z=-2-4i.