Предел функции комплексной переменной

Определение 24.4. Пусть точка a является предельной точкой множества Е, т. е. любая окрестность точки а содержит бесконечное число точек множества Е. Число А называется пределом функции f(х) при Z по множеству Е если для любого e>0 существует такое d=d(e)>0 что для всех Z удовлетворяющих условию 0<Z-a<d выполняется неравенство

При этом пишут Lim f(z)=A

Или f(z) A при Z a Z

при .

Для краткости вместо можно писать .

Существование предела , где f(z)=U(x,y)+iV(x,y), a= +i равносильно существованию двух пределов lim U(x,y) и lim V(x,y) причем

= U(x,y)+i V(x,y)

Пределы функции комплексной переменной обладают такими же свойствами, как и пределы функции действительной переменной если существует пределы

f (z) =A g (z)=B

[f (z) g (z)=A B, [f(z) g(z)=AB,

[f (z)/ g(z)]=A/B, В=0

формула разъяснение.

F(z) ~g(z)(z a, z ) =1

F(z) =о((gz))(z a, z ) =0

F(z) =О(g(z)) (z ) Отношение f(z)/g(z)

ограничено на множестве Е: , zÎE

F(z) =О(g(z))(z a, z ). Отношение f(z)/g(z) ограничено в пересечении некоторой окрестности точки a с множеством Е.