Модели оптимизации. Линейное программирование

Основное назначение любой математической модели - помочь получить новые знания об объекте исследования. Одна из самых главных целей информации об объекте - определение оптимальных условий функционирования исследуемого объекта. Модели оптимизации специально посвящены решению этой задачи [11, 29, 30].

Любой объект исследования можно представить (рис. 2.1), где х₁, …х_n - входные параметры; y₁, …y_k - выходные параметры.

Рис. 2.1 – Схема объекта исследования

Среди выходных параметров выделяют несколько наиболее важных, от численных значений которых зависит качество функционирования объекта. Эти параметры называются критерии оптимальности или критерии качества q:

(2.1)

Задача ставится следующим образом: найти такие значения входных параметров (х_п), при которых критерии оптимальности достигнут оптимального (min или max) значения, причем вектор входных параметров должен принадлежать некоторому множеству, которое называется множество допустимых решений:

, (2.2)

где х₁, х₂,…х_n - должны удовлетворять некоторым ограничениям.

Задачи оптимизации делятся на:

а) скалярную оптимизацию - это наиболее простая задача, когда рассматривается один критерий оптимальности (для решения используют графический метод, а аналитический метод (симплекс-метод);

б) векторную оптимизацию - когда рассматривается несколько критериев оптимизации (для решения используют метод Зейдена, градиентные методы, методы Поррето).

Из задач скалярной оптимизации наиболее простыми являются задачи линейного программирования (ЛП), в которых критерий оптимальности - это линейная функция входных параметров, а область допустимых решений задана системой линейных равенств [25].

Модель задачи ЛП формализуется следующим образом:

(2.3)