Решение. Искомая плоская фигура заштрихована, именно она и вращается вокруг оси Ох

Искомая плоская фигура заштрихована, именно она и вращается вокруг оси Ох. Поэтому воспользуемся формулой

Пределы интегрирования легко определяются по чертежу: а=0, b=2. Плоская фигура ограничена графиком параболы

сверху. Это и есть та функция, которая подразумевается в формуле. В практических заданиях плоская фигура иногда может располагаться и ниже оси Ох. Это ничего не меняет – функция в формуле возводится в квадрат, таким образом, объем тела вращения всегда неотрицателен

Решение начинается с чертежа плоской фигуры. То есть, на координатной плоскости необходимо построить фигуру, ограниченную линиями

, при этом уравнение

задаёт ось Ох.

Вычислим объем тела вращения, используя данную формулу:

Ответ:

b) Вычислить объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями .

Решение.

Изобразим на чертеже плоскую фигуру, ограниченную заданными линиями, не забывая при этом, что уравнение х=0 задает ось Oy.

Искомая фигура заштрихована. При её вращении вокруг оси Oх получается такой сюрреалистический бублик с четырьмя углами. Объем тела вращения вычислим как разность объемов тел. Сначала рассмотрим фигуру, которая обведена красным цветом. При её вращении вокруг оси Ох получается усеченный конус. Обозначим объем этого усеченного конуса через V₁. Рассмотрим фигуру, которая обведена зеленым цветом. Если вращать данную фигуру вокруг оси Ox, то получится тоже усеченный конус, только чуть поменьше. Обозначим его объем через V₂_.

И, очевидно, разность объемов V=V₁-V₂ – в точности объем нашего «бублика».

Используем стандартную формулу для нахождения объема тела вращения:

1) Фигура, обведенная красным цветом ограничена сверху прямой y=x+4, поэтому:

2) Фигура, обведенная зеленым цветом ограничена сверху прямой y=2x+1, поэтому:

3) Объем искомого тела вращения:

Ответ:

В данном случае решение можно проверить, используя школьную формулу для вычисления объема усеченного конуса:

с) Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Oy фигуры, ограниченной кривыми

Решение.

Выполним чертеж:

Для цели нахождения объема тела вращения достаточно использовать правую половину фигуры, которая заштрихована. Обе функции являются четными, их графики симметричны относительно оси Oy, симметрична и фигура. Таким образом, заштрихованная правая часть, вращаясь вокруг оси Oy, непременно совпадёт с левой не штрихованной частью.

Поскольку фигура получена вращением вокруг оси Oy, воспользуемся формулой:

Для этого необходимо перейти к обратным функциям, то есть, выразить «иксы» через «игреки»:

Обратите внимание, что правой ветви параболы соответствует обратная функция . Левой неиспользуемой ветви параболы соответствует обратная функция . В таких случаях возникает вопрос, какую же функцию выбрать? Для выбора обратной функции необходимо взять любую точку правой ветви (например, (1;1)) и подставить ее координаты в функцию . Координаты подошли, значит, функция задает именно правую ветвь, а не левую.

Тоже самое и с функций Не всегда бывает сразу понятно, какую обратную функцию выбрать: . Выбрать функцию поможет подстановка в найденную обратную функцию точек графика.