Способы корректировки гетероскедастичности

Цель: рассмотреть методы смягчения или устранения проблем гетероскедастичности и научиться применять их на практике при решении задач эконометрики.

Ключевые слова: вес, гетероскедастичность, гомоскедастичность.

План лекции:

1. Способы смягчения гетероскедастичности.

1.Способы смягчения гетероскедастичности.

Для устранения гетероскедастичности нужно найти способ придать наибольший вес наблюдению , у которого среднее квадратическое отклонение случайной составляющей максимально (такие наблюдения обладают самым низким качеством); и малый вес наблюдению, у которого среднее квадратическое отклонение случайной составляющей минимально (такие наблюдения обладают самым высоким качеством). Тогда мы получим более точные (эффективные) оценки параметров уравнения регрессии: .

Разделим правую и левую части уравнения на . Получим:

Введем новые переменные:

Тогда уравнение регрессии примет вид:

Преобразованное уравнение относится к двухфакторному уравнению регрессии (1-й фактор - , 2-й фактор - ). Данное уравнение представляет собой так называемую взвешенную регрессию (с весами ). При этом наблюдениям высокого качествами с меньшими придаются большие веса и наоборот. Случайная составляющая в -м наблюдении имеет постоянную дисперсию, т.е. модель будет гомоскедастичной.

Данный способ устранения гетероскедастичности применим, если известны фактические значения , что редко встречается на практике.

Однако, если мы сможем подобрать некоторую величину, пропорциональную в каждом наблюдении и разделим на нее обе части уравнения, то гетероскедастичность будет устранена.

Например, может оказаться целесообразным предположить, что дисперсии пропорциональны .

- коэффициент пропорциональности).

Тогда уравнение преобразуется делением его левой и правой частей на :

.

Несложно показать, что для случайных отклонений выполняется условие гомоскедастичности. Следовательно, для регрессии применим обычный МНК. Действительно, в силу выполнимости предпосылки имеем:

.

Таким образом, оценив по МНК коэффициенты и , затем возвращаются к исходному уравнению регрессии .

В случае, если зависимость от целесообразнее выразить квадратичной функцией, т.е. предположить, что дисперсии отклонений пропорциональны значениям , то соответствующим преобразованием будет деление уравнения регрессии на :

Дисперсия случайной составляющей в этом уравнении может быть записана как

То есть она будет постоянна для всех наблюдений. Следовательно, гетероскедастичность в преобразованном уравнении регрессии отсутствует.

После определения по МНК оценок коэффициентов b₀ и b₁ для уравнения регрессии возвращаются к исходному уравнению.