Образец выполнения

Пример 1. Найдите S фигуры, ограниченной линиями и

Решение:

Для нахождения площади фигуры зададим две функции:

Построим графики этих функций

Так как непосредственно по графикам функций невозможно определить точные координаты точек пересечения, найдем пределы интегрирования как корни уравнения . Для этого перенесем все в левую часть, приравняв, таким образом, к нулю, и воспользуемся встроенной в Mathcad функцией «solve»:

Или можно использовать логическое равенство из панели инструментов «Логический», тогда запись будет иметь вид:

Далее составим определенный интеграл и вычислим площадь фигуры:

Пример 2. Найдите длину дуги

Решение:

Построим полярный график заданной функции:

Из графика видно, что это окружность радиуса r = 3. Через интеграл длина этой окружности вычисляется так:

Для проверки воспользуемся школьной формулой .

Пример 3. Найдите V тела, полученного вращением криволинейной трапеции, ограниченной линиями: , x =0, вокруг оси Oх.

Решение:

Построим график функции :

Интеграл для вычисления объема тела вращения:

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ

Вариант 1

Задание 1. Вычислить с точностью до двух знаков после запятой площадь фигуры, ограниченной указанными линиями.

♦ ♦ ♦

Задание 2.Вычислить с точностью до двух знаков после запятой длину дуги данной линии.

♦ ♦ ♦

Задание 3.Вычислить с точностью до двух знаков после запятой объем тела, полученного вращением фигуры Ф вокруг оси абсцисс.

.

Задание 4.Вычислить с точностью до двух знаков после запятой площадь поверхности, образованной вращением дуги кривой L вокруг оси абсцисс.

.

Вариант 2

Задание 1. Вычислить с точностью до двух знаков после запятой площадь фигуры, ограниченной указанными линиями.

♦ ♦ ♦

Задание 2.Вычислить с точностью до двух знаков после запятой длину дуги данной линии.

♦ ♦ ♦

Задание 3.Вычислить с точностью до двух знаков после запятой объем тела, полученного вращением фигуры Ф вокруг оси абсцисс.

Задание 4.Вычислить с точностью до двух знаков после запятой площадь поверхности, образованной вращением дуги кривой L вокруг оси абсцисс.

.

Вариант 3

Задание 1. Вычислить с точностью до двух знаков после запятой площадь фигуры, ограниченной указанными линиями.

♦ ♦ ♦

Задание 2.Вычислить с точностью до двух знаков после запятой длину дуги данной линии.

♦ ♦ ♦

Задание 3.Вычислить с точностью до двух знаков после запятой объем тела, полученного вращением фигуры Ф вокруг оси абсцисс.

Задание 4.Вычислить с точностью до двух знаков после запятой площадь поверхности, образованной вращением дуги кривой L вокруг оси абсцисс.

.

Вариант 4

Задание 1. Вычислить с точностью до двух знаков после запятой площадь фигуры, ограниченной указанными линиями.

♦ ♦ ♦

Задание 2.Вычислить с точностью до двух знаков после запятой длину дуги данной линии.

♦ ♦ ♦

Задание 3.Вычислить с точностью до двух знаков после запятой объем тела, полученного вращением фигуры Ф вокруг оси абсцисс.

Задание 4.Вычислить с точностью до двух знаков после запятой площадь поверхности, образованной вращением дуги кривой L вокруг оси абсцисс.

.

Вариант 5

Задание 1. Вычислить с точностью до двух знаков после запятой площадь фигуры, ограниченной указанными линиями.

♦ ♦ ♦

Задание 2. Вычислить с точностью до двух знаков после запятой длину дуги данной линии.

♦ ♦ ♦

Задание 3.Вычислить с точностью до двух знаков после запятой объем тела, полученного вращением фигуры Ф вокруг оси абсцисс.

Задание 4.Вычислить с точностью до двух знаков после запятой площадь поверхности, образованной вращением дуги кривой L вокруг оси абсцисс.

Вариант 6

Задание 1. Вычислить с точностью до двух знаков после запятой площадь фигуры, ограниченной указанными линиями.

♦ ♦ ♦

Задание 2.Вычислить с точностью до двух знаков после запятой длину дуги данной линии.

♦ ♦ ♦

Задание 3. Вычислить с точностью до двух знаков после запятой объем тела, полученного вращением фигуры Ф вокруг оси абсцисс.

Задание 4.Вычислить с точностью до двух знаков после запятой площадь поверхности, образованной вращением дуги кривой L вокруг оси абсцисс.

Вариант 7

Задание 1. Вычислить с точностью до двух знаков после запятой площадь фигуры, ограниченной указанными линиями.

♦ ♦ ♦

Задание 2.Вычислить с точностью до двух знаков после запятой длину дуги данной линии.

♦ ♦ ♦

Задание 3.Вычислить с точностью до двух знаков после запятой объем тела, полученного вращением фигуры Ф вокруг оси абсцисс.

Задание 4.Вычислить с точностью до двух знаков после запятой площадь поверхности, образованной вращением дуги кривой L вокруг оси абсцисс.

Вариант 8

Задание 1. Вычислить с точностью до двух знаков после запятой площадь фигуры, ограниченной указанными линиями.

♦ ♦ ♦

Задание 2. Вычислить с точностью до двух знаков после запятой длину дуги данной линии.

♦ ♦ ♦

Задание 3. Вычислить с точностью до двух знаков после запятой объем тела, полученного вращением фигуры Ф вокруг оси абсцисс.

Задание 4.Вычислить с точностью до двух знаков после запятой площадь поверхности, образованной вращением дуги кривой L вокруг оси абсцисс.

Вариант 9

Задание 1. Вычислить с точностью до двух знаков после запятой площадь фигуры, ограниченной указанными линиями.

♦ ♦ ♦

Задание 2. Вычислить с точностью до двух знаков после запятой длину дуги данной линии.

♦ ♦ ♦

Задание 3.Вычислить с точностью до двух знаков после запятой объем тела, полученного вращением фигуры Ф вокруг оси абсцисс.

Задание 4.Вычислить с точностью до двух знаков после запятой площадь поверхности, образованной вращением дуги кривой L вокруг оси абсцисс.

Вариант 10

Задание 1. Вычислить с точностью до двух знаков после запятой площадь фигуры, ограниченной указанными линиями.

♦ ♦ ♦

Задание 2.Вычислить с точностью до двух знаков после запятой длину дуги данной линии.

♦ ♦ ♦

Задание 3. Вычислить с точностью до двух знаков после запятой объем тела, полученного вращением фигуры Ф вокруг оси абсцисс.

Задание 4.Вычислить с точностью до двух знаков после запятой площадь поверхности, образованной вращением дуги кривой L вокруг оси абсцисс.

Вариант 11

Задание 1. Вычислить с точностью до двух знаков после запятой площадь фигуры, ограниченной указанными линиями.

♦ ♦ ♦

Задание 2.Вычислить с точностью до двух знаков после запятой длину дуги данной линии.

♦ ♦ ♦

Задание 3.Вычислить с точностью до двух знаков после запятой объем тела, полученного вращением фигуры Ф вокруг оси абсцисс.

Задание 4.Вычислить с точностью до двух знаков после запятой площадь поверхности, образованной вращением дуги кривой L вокруг оси абсцисс.

Вариант 12

Задание 1. Вычислить с точностью до двух знаков после запятой площадь фигуры, ограниченной указанными линиями.

♦ ♦ ♦

Задание 2.Вычислить с точностью до двух знаков после запятой длину дуги данной линии.

♦ ♦ ♦

Задание 3.Вычислить с точностью до двух знаков после запятой объем тела, полученного вращением фигуры Ф вокруг оси абсцисс.

Задание 4.Вычислить с точностью до двух знаков после запятой площадь поверхности, образованной вращением дуги кривой L вокруг оси абсцисс.

.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 13

ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ