Упражнения. 1)Дан треугольник ABCD. Точки E, F и G делят в отношении l стороны AB, BC и AC, соответственно (рис 2.2)

1) Дан треугольник ABCD. Точки E, F и G делят в отношении l стороны AB, BC и AC, соответственно (рис 2.2). Выразить , и через = , = :

а) l =2; б) l =3; в) l = .

Решение. а) Выразить через и означает представить в виде линейной комбинации векторов и : = a + b , причём в этом представлении определить a и b. Имеем = + . Ясно, что =- . Далее, так как = l =2, то AG =2 GC, то есть =2 =2 . Отсюда =2 +(- ), то есть =- +2 .

Очевидно, = + = + , то есть = + .

Наконец, = + =2 + =3 , то есть =3 .

Ответ: а) =- +2 ; = + ; =3 .

2) Найти линейную зависимость между векторами:

а) =(4; 1), =(1; 1), =(2; -1);

б) =(3; -1), =(-2; 2), =(5; -8);

в) =(3; -1; 2), =(2; 1; 1), =(1; -1; 2), =(4; 8; 3);

г) =(1; -1; 1), =(2; 1; -1), =(1; 2; 3), =(4; 2; 3).

Решение. а) Найти линейную зависимость между векторами , и - это значит найти a, b и g, не все равные нулю, в выражении

a + b + g = . (2.1)

Имеем

a + b + g = a (4; 1)+ b (1; 1)+ g (2; -1)=(4 a + b +2 g; a + b - g)

(по 2.1.4). Так как =(0, 0), то (4 a + b +2 g; a + b - g)=(0, 0). Два вектора равны тогда и только тогда, когда их координаты совпадают. Поэтому приходим к однородной системе

Решаем её:

Û Û Û

Таким образом, равенство (2.1) принимает вид - g +2 g + g = , где g ≠0. Тогда g (- +2 + )= . Так как g ≠0, то по свойству 6 векторов - +2 + = . Это и есть искомая линейная зависимость между векторами , и .

в) Требуется найти a, b, g, d в равенстве

a + b + g + d = . (2.2)

Имеем

a + b + g + d = a (3; -1; 2)+ b (2; 1; 1)+ g (1; -1; 2)+ d (4; 8; 3)=

=(3 a +2 b + g +4 d; - a + b - g +8 d; 2 a + b +2 g +3 d).

С учётом (2.2) приходим к системе и решаем её:

Û Û Û Û

Равенство (2.2) принимает вид d - d - d + d = , то есть - - + = - линейная зависимость между векторами , , и .

Умножая полученную линейную зависимость на 3, можно получить другую (равносильную полученной) линейную зависимость между ними: 16 -19 -11 +3 = .

Ответ: а) - +2 + = ; б) 16 -19 -11 +3 = .

3) Проверить линейную зависимость векторов:

а) =(4; 1), =(1; 1);

б) =(1; 1), =(2; -2);

в) =(2; 1), =(-4; -2);

г) =(1; 1), =(3; 3);

д) =(3; -1; 2), =(2; 1; 1);

е) =(3; -1; 2), =(2; 1; 1), =(1; -1; 2);

ж) =(1; 2; 3), =(4; 5; 6), =(7; 8; 9);

з) =(1; -1; 1), =(2; 1; -1), =(1; 2; 3).

Решение. а) Применим теорему 2.1.5. Так как = =4, = =1, то ≠ , и координаты векторов и непропорциональны. Следовательно, векторы и линейно независимы (неколлинеарны).

в) Имеем = = , = = , то есть = , и векторы линейно зависимы (коллинеарны).

е) Имеем

= ≠0.

Поэтому векторы , и линейно независимы (некомпланарны).

ж) Так как

= =0,

то векторы линейно зависимы (компланарны).

4) На плоскости даны векторы и . Доказать, что они образуют базис на плоскости и найти координаты вектора в этом базисе:

а) =(4; 1), =(1; 1), =(2; -1);

б) =(1; -1), =(-2; 3), =(-2; -3).

Решение. а) Так как и неколлинеарны (см. решение упр 3. а)), то на плоскости они образуют базис (Теорема 2.1.3). Найдём разложение в этом базисе, то есть коэффициенты a и b в равенстве

= a + b (2.3)

I способ. Распишем правую часть (2.3):

a + b = a (4; 1)+ b (1; 1)=(4 a + b; a + b).

Тогда (2.3) принимает вид (4 a + b; a + b)=(2; -1) и мы приходим к системе

Решаем эту систему:

Û Û Û

Таким образом, = -2 , то есть (1; -2) - координаты вектора в базисе (, ).

II способ. Найдём сначала линейную зависимость между векторами , , : - +2 + = (см. решение упр. 2. а)). Отсюда = -2 .

Ответ: а) =(1; -2).

5) В пространстве даны векторы , и . Доказать, что они образуют базис в пространстве и найти координаты вектора в этом базисе:

а) =(3; -1; 2), =(2; 1; 1), =(1; -1; 2), =(4; 8; 3);

б) =(3; -1; 2), =(2; 1; 1), =(5; 0; 2), =(3; -1; 3).

Решение. а) Так как векторы , и некомплнарны (см. решение упр 3. е)), то в пространстве они образуют базис (Теорема 2.1.3). Найдём разложение в этом базисе, то есть коэффициенты a ₁, a ₂ и a ₃ в равенстве

= a ₁ + a ₂ + a ₃ (2.4)

I способ. Распишем правую часть (2.4):

a ₁ + a ₂ + a ₃ =(3 a ₁+2 a ₂+ a ₃; - a ₁+ a ₂- a ₃; 2 a ₁+ a ₂+2 a ₃).

Тогда (2.4) принимает вид (3 a ₁+2 a ₂+ a ₃; - a ₁+ a ₂- a ₃; 2 a ₁+ a ₂+2 a ₃)=(1; 2; 1) и мы приходим к системе и решаем её:

Û Û

Таким образом, =- + + , то есть (- ; ; ) - координаты вектора в базисе (, , ).

II способ. Найдём сначала линейную зависимость между векторами , , , : - - + = (см. решение упр. 3. а)). Отсюда =- + + .

Ответ: а) =(- ; ; ).

Репер.

2.2.1. Особый интерес представляют базисы на плоскости и в пространстве, состоящие из попарно ортогональных векторов единичной длины. Они называются реперами (или ортами) на плоскости или в пространстве. Векторы репера на плоскости обозначают через и , причём сам репер обозначают в виде упорядоченной пары (, ) (вектор первым!), и эта пара - правая (рис. 2.2, а)).

Векторы репера в пространстве обозначают через , и , сам репер обозначают в виде упорядоченной тройки (, , ) (вектор первым, - вторым), и эта тройка - правая (рис. 2.2, б)).

2.2.2. Таким образом, произвольный вектор на плоскости представим единственным образом в виде = a ₁ + a ₂ , в пространстве - в виде = a ₁ + a ₂ + a ₃ , и (a ₁, a ₂) - координаты вектора в репере (, ) на плоскости и (a ₁, a ₂, a ₃) - координаты вектора в репере (, , ) в пространстве (рис.2.3)