Системы линейных уравнений с двумя неизвестными

1.1.1.Определение. Линейным уравнением с двумя неизвестными называется равенство вида

ax + bу = c, ( 1.1.1 )

где ax + bу ¾ многочлен от переменных x и y с коэффициентами a и b, c ¾ некоторое число. x и y называются неизвестными, a и b ¾ коэффициентами при неизвестных x и y соответственно, c ¾ свободным членом.

Решением уравнения (1.1.1) называется любая упорядоченная пара чисел (a; b), при подстановке которых соответственно вместо x и y (1.1.1) обращается в верное числовое равенство: aa + bb = c. Решить уравнение (1.1.1) ¾ это значит найти множество (П3, 1.1.1) всех его решений (или, другими словами, найти все его решения).

1.1.2. Упражнение. Найти множество всех решений уравнения и указать некоторое его частное решение:

а) 3 x +6 y = -10;

б) -2 x +7 y =20;

в) 5 x -3 y =15.

Решение. a) I способ. Пусть y = a ¾ произвольное число. Тогда имеем следующую цепочку равносильностей:

3 x +6 a = -10 Û 3 x = -10 - 6 a Û x = -

Следовательно, произвольное решение имеет вид (- , a) где a ¾ произвольное число.

Если a =1, то получаем следующее частное решение (- ; 1).

II способ. Пусть x = a ¾ произвольное число. Тогда:

3 a +6 y = -10 Û 6 y = -10 -3 a Û y = -

Следовательно, произвольное решение имеет вид (- , a) где a ¾ произвольное число.

Если a =0, то получаем следующее частное решение (0; - ).

Ответ: а) Множеством решений является {(- ; a) | a Î R }.

(- ; 1) и (0; - ) ¾ частные решения.