Система с двумя неизвестными

1.2.1. Определение. Пусть даны линейные уравнения

a ₁ x + b ₁ y = c ₁,(1.2.1)

a ₂ x + b ₂ y = c ₂. (1.2.2)

Если требуется найти общие решения уравнений (1.2.1) и (1.2.2), то говорят, что они образуют систему. Система, состоящая из уравнений (1.2.1) и (1.2.2), обозначается следующим образом:

(1.2.3)

Общее решение уравнений, составляющих систему, называется решением системы. Решить систему (1.2.3) ¾ это значит либо найти множество всех его решений, либо доказать, что их нет.

Ниже мы сформулируем условия, при которых система (1.2.3) имеет единственное решение, имеет более одного решения и не имеет ни одного решения (теорема 1.2.7).

1.2.2. Определение. Пусть дана система (1.2.3) линейных уравнений. Матрица называется (основной) матрицей, а ее определитель ¾ определителем системы. Матрица называется расширенной матрицей системы.

1.2.3. Упражнение. Выписать матрицу, расширенную матрицу системы и найти её определитель:

а)

б) в)

1.2.4. Определение. Две системы называются равносильными, если множество их решений совпадают. В частности, равносильными являются также любые две системы, не имеющие решений.

1.2.5. Определение. Элементарными преобразованиями системы (1.2.3) называется одно из следующих:

1) Умножение одного из уравнений системы на ненулевое число.

2) Прибавление к какому-либо уравнению другого уравнения, умноженного на некоторое число.

3) Перемена местами уравнений.

Эти преобразования будем называть преобразованиями соответственно 1- го, 2- го и 3- готипов.

Можно доказать, что при элементарных преобразованиях системы получается система, равносильная данной.

Это обстоятельство позволяет легко решить систему (1.2.3) с помощью элементарных преобразований.

1.2.6. Упражнение. Решить системы уравнений:

а) (1.2.4)

б) в)

г) д) е)

Решение. а) Умножим первое уравнение на –2 и прибавим его ко второму (преобразование 2-го типа); придем к системе

(1.2.5)

равносильной системе (1.2.4). В полученной системе последнее уравнение разделим на –13 (т.е. умножим его на – (преобразование 1-го типа)); придем к системе

равносильной системе (1.2.5). Подставив у =1 в первое уравнение, получим х =1, т.е. придем к системе

которая равносильна системе (1.2.4). Таким образом, (1; 1) ¾ решение системы (1.2.4). Кратко процесс решения системы (1.2.4) записывается следующим образом:

Û Û Û

Знак «Û» означает знак равносильности систем.

б) х +5 у =6 х =6-5 у.

Если у = a, то х =6-5 a, т.е. решениями являются все пары чисел вида (6-5 a, a).

á(1) Первое уравнение, умноженное на 2, вычитаем из второго (это то же самое, что и первое уравнение, умноженное на –2 прибавляем ко второму; преобразование 2-го типа).

(2) Систему заменяем одним уравнением с двумя неизвестными.

(3) Член 5 у переносим из левой части в правую, поменяв знак на противоположный.ñ

в) Аналогично предыдущему, получаем

Û

Последняя система решений не имеет, так как общего решения уравнений, составляющих последнюю систему, нет (0= -2 можно рассматривать как уравнение 0× х = -2).

Ответ: а) (1; 1); б) (6-5 a, a), a Î R; в) система решений не имеет.

Замечание. Ответ можно записать также в виде систем:

Ответ: а) б) в) система решений не имеет.

1.2.7. Теорема. Пусть дана система (1.4), D= ¾ определитель системы, D₁= и D₂= . Если D¹0, то система имеет единственное решение ; .

Если D=0, то при D₁=0 или D₂=0 система равносильна уравнению a ₁ x + b ₁ y = c ₁ (a ₂ x + b ₂ y = c ₂), а при D₁¹0 или D₂¹0 система решений не имеет.

1.2.8. Упражнение. Решить системы упражнения 1.2.6 с использованием теоремы 1.2.7.

Решение. а) Найдём определитель системы: D= = -13, то есть D¹0. Поэтому система имеет единственное решение ; , где D₁= = -13 и D₂= = -13. Таким образом, (1; 1) ¾ решение системы.

б) Имеем D= =0 и D₁= =0. Поэтому система равносильна уравнению x +5 y =6, множеством решений которого является {(6-5 a, a) | a Î R }.

в) Так как D=0, а D₁= ¹0, то система решений не имеет.

Замечание. Заметим, что (2.2.8) означает: из D₁=0 вытекает D₂=0 и, наоборот, из D₂=0 вытекает D₁=0. Также если D=0, то из D₁¹0 вытекает D₂¹0 и, наоборот, из D₂¹0 вытекает D₁¹0. Так что в этом случае в формулировке теоремы одно из соответствующих условий излишнее.