Определение перемещений с помощью интеграла Мора с использованием правила Верещагина

Для определения горизонтального перемещения рамы в сечении 1 (сечение D), выбираем единичное состояние – освободив раму от заданной нагрузки, прикладываем в сечении D сосредоточенную силу =1, направленную горизонтально (рис.39 а).

Рис.39. Эпюра изгибающих моментов от единичной сосредоточенной силы

Определение опорных реакций. Составляем три уравнения статики (рис.39 a):

S F_x = 0:

S M_A = 0:

S M_B = 0: R_A =

Проверка S F _z = 0? R_A + R _B = – 0, 75 + 0, 75 = 0.

Значения изгибающих моментов.

Участок AC: ;

Участок BD: ;

Поскольку участки CD и CE вертикальные разворачиваем раму на 90⁰ по ходу часовой стрелки.

Участок CD: ;

Участок CE: M ≡ 0.

Строим эпюру от единичного воздействия (рис.39 б) и, не забываем проверить равновесие узлов C и D.

Горизонтальное перемещение рамы в сечении 1 по формуле Мора

v₁ =

Рис.40.Перемножение эпюр

На участке АС (рис.40) площадь эпюры: .

Ордината в эпюре под центром тяжести равна: ; поэтому .

Такой же результат получится и для участка BD: .

Эпюру от заданной нагрузки М_Р на участке CD, который развернем походу часовой стрелки, разбиваем на два треугольника и симметричную параболу, а эпюру – на два треугольника (рис.41).

Площади этих эпюр: ; .

Ординаты в эпюре под центрами тяжести соответственно равны: ; ; ; ; ; поэтому

Рис.41. Разбиение сложных эпюр на простые эпюры. Перемножение эпюр

т.к. J ₂ = J ₁/ 3.

Таким образом, горизонтального перемещения рамы в сечении 1

v₁ =

Отрицательное значение перемещения в сечении 1 показывает, что рама в сечении 1 перемещается в направлении противоположном направлению единичной силы.

Для определения угла поворота рамы в сечении 2 (сечение E), выбираем единичное состояние – освободив раму от заданной нагрузки, прикладываем в сечении E сосредоточенный момент =1, направленный по ходу часовой стрелки (рис.42 а).

Определение опорных реакций. Составляем три уравнения статики:

S F_x = 0:

S M_A = 0:

S M_B = 0: R_A =

Проверка S F _z = 0? R_A + R_B = – 0, 25 + 0, 25 = 0.

Рис.42.Эпюра изгибающих моментов от единичного сосредоточенного момента

Значения изгибающих моментов.

Участок AC: ;

Участок BD: ;

Поскольку участки CD и CE вертикальные разворачиваем раму на 90⁰ по ходу часовой стрелки.

Участок CD: ;

Участок CE: M ≡ =1.

Строим эпюру от единичного воздействия (рис.42 б).

Интеграл Мора

j₂ = .

На участке АС (рис.32 б) площадь эпюры: .

Ордината в эпюре под центром тяжести равна: ; поэтому .

Такой же результат получится и для участка BD: .

Эпюру от заданной нагрузки М_Р на участке CD, который развернем походу часовой стрелки, разбиваем на два треугольника и симметричную параболу, как это было сделано выше (рис.41).

Площади этих эпюр: ; ; .

Ординаты в эпюре под центрами тяжести равны ; поэтому

,

т.к. J ₂ = J ₁/ 3.

На участке CE (рис.33 б) площадь эпюры: , а ордината в эпюре под центром тяжести равна ; поэтому , т.к. J ₂ = J ₁/ 3.

Таким образом, угол поворота рамы в сечении 2 (сечение E)

j₂ = .

Отрицательное значение угла поворота рамы в сечении 2 показывает, что сечение 2 поворачивается против хода часовой стрелки, т.е. в направлении противоположном направлению единичного момента.

Литература:

1. Дарков А. В. Строительная механика / А. В. Дарков, Н. Н. Шапошников. - СПб.: Издательство Лань, 2005. - 656 с.

2. Снитко Н. К. Строительная механика./ Н. К. Снитко – М.: Высшая школа, 1992. – 486 с.

3. Киселёв В. А. Строительная механика / В. А. Киселёв. - М.: Стройиздат, 1976. - 512 с.