Вычисление объема тела по площадям параллельных сечений

Пусть дано некоторое тело и известно, что площадь поперечного сечения плоскости перпендикулярна оси OX. Разобьем тело на части плоскостями x=x_i перпендикулярными оси OX. Отрезок [a,b], лежащий на оси OX, разобьется соответственно точками x_i на n частей: a=x₀<x₁<x₂<…<x_n=b. Dx_i = x_i+1 – x_i - длина [x_i; x_i+1]. В каждой точке x принадлежащей отрезку [a,b] известно поперечное сечение этого тела, то есть площадь поперечного сечения является функцией от x(S(x)). На i -ом отрезке выберем произвольную точку с_i и заменим объем i части тела объемом прямого цилиндра V_i = S_осн× высоту=S(с_i) ×Dx_i; объем тела приближенно равен сумме объемов прямых цилиндров V_T» . Причем равенство будет, вообще говоря, тем точнее, чем мельче будет разбиение. Переходя к пределу, получаем V_T = . Этот предел интегральных сумм является определенным интегралом , где S(x) – площадь поперечного сечения.