2015-04-12
1103
Определение: Пусть функция 
непрерывна на промежутке 
, тогда очевидно, что при любом 
имеет смысл интеграл 
. Будем расширять промежуток 
, увеличивая . Тогда, если существует предел:
, то этот предел называется несобственным интегралом от функции 
по бесконечному промежутку 
и обозначается 
.
Отметим, что если указанный предел существует и конечен, то интеграл 
называется сходящимся (говорят, что он сходится). В противном случае (если предел бесконечен или не существует) говорят, что 
расходится.
Аналогично вводится понятие несобственного интеграла 
по промежутку 
.
Определение: Несобственный интеграл 
определяется как следующая сумма несобственных интегралов:
= 
+ 
.
Отметим, что легко показать, что так определенный интеграл 
не зависит от выбора точки 
. Этот интеграл называется сходящимся, если сходящимися являются интегралы 
и 
, в противном случае он называется расходящимся.
Примеры:
1. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость:
а) 
= 
= 
= 
=
= 
= 
= 
б) 
= 
= 
= 
= 
(интеграл расходится)
в) 
= 
= 
= 
Поскольку последний предел не существует, то интеграл расходится.
