Основные понятия и определения теории бифуркаций

а) Введение в теорию бифуркаций

Теория бифуркаций динамических систем описывает качественные, скачкообразные изменения фазовых портретов дифференциальных уравнений при непрерывном, плавном изменении параметров. Так, при потере устойчивости особой точкой может возникнуть предельный цикл, а при потере устойчивости предельным циклом – хаос. Такого рода изменения и называются бифуркациями.

В дифференциальных уравнениях, описывающих реальные физические явления, чаще всего встречаются особые точки и предельные циклы общего положения, то есть гиперболические. Однако встречаются и специальные классы дифференциальных уравнений, где дело обстоит иначе. Таковы, например, системы, обладающие симметриями, связанными с природой описываемого явления, а также гамильтоновы уравнения, обратимые системы, уравнения, сохраняющие фазовый объем. Так, например, рассмотрим однопараметрическое семейство динамических систем на прямой с симметрией второго порядка:

Типичная бифуркация симметричного положения равновесия в такой системе(«трезубец») изображена на рис. 1. Она состоит в том, что от теряющего устойчивость симметричного положения равновесия ответвляется два новых, менее симметричных, положения равновесия. При этом симметричное положение равновесия сохраняется, но теряет устойчивость.

Основы математической теории бифуркаций были созданы А. Пуанкаре и A. M. Ляпуновым в начале ХХ века, а затем развиты некоторыми школами. Теория бифуркаций находит приложения в разных науках, начиная от физики и химии, заканчивая биологией и социологией.

Происхождение термина бифуркация (от лат. bifurcus - раздвоенный) связано с тем фактом, что динамическая система, поведение которой в равновесной области описывается системой линейных дифференциальных уравнений, имеющих единственное решение, при изменении параметров до некоторого критического значения, достигает так называемой точки бифуркации – точки ветвления возможных путей эволюции системы.

Этот момент (точка ветвления) соответствует переходу системы в неравновесное состояние, а на уровне математического описания ему соответствует переход к нелинейным дифференциальным уравнениям и ветвление их решений.

Бифуркацией называется приобретение нового качества эволюции (в движении) динамической системы при малом изменении ее параметров. Бифуркация соответствует перестройке характера движения или структуры реальной системы (физической, химической, биологической и т. д.).

С позиций математики, бифуркация – это смена топологической структуры разбиения фазового пространства динамической системы на траектории при малом изменении ее параметров.

Это определение опирается на понятие топологической эквивалентности динамических систем: две системы топологически эквивалентны, если они имеют одинаковую структуру разбиения фазового пространства на траектории, если движения одной из них могут быть сведены к движениям другой непрерывной заменой координат и времени.

Примером такой эквивалентности служат движения маятника при разных величинах коэффициента трения k: при малом трении траектории на фазовой плоскости имеют вид скручивающихся спиралей, а при большом – парабол (рис. на следующем слайде)

Переход от фазового портрета а к б не представляет собой бифуркации, поскольку бифуркации – это переход от данной системы к топологически неэквивалентной.

Пример: В математической модели возникновению ячеек Бенара соответствует бифуркация рождения новых состояний равновесия (соответствующих ячеистой структуре).

Среди различных бифуркаций при анализе моделей физических систем особенно интересны, так называемые, локальные – это бифуркации, при которых происходит перестройка отдельных движений динамической системы.

Простейшими и наиболее важными из них являются:

бифуркации состояний равновесия (ячейки Бенара)

бифуркации периодических движений.

Заключение. Важные черты бифуркации

Бифуркации, в результате которых исчезают статические или периодические режимы (то есть состояния равновесия или предельные циклы), могут приводить к тому, что динамическая система переходит в режим стохастических колебаний.

В приложениях теории бифуркаций ставится задача – для каждой конкретной ситуации найти аналитические выражения для вариантов решений уравнений, возникающих в точках бифуркации, а также определение значений параметров, при которых начинается ветвление решений уравнений. Предварительно необходимо провести анализ устойчивости системы и поиск точек ее неустойчивости. Методы этого анализа основаны на теории устойчивости, они достаточно подробно разработаны и носят чисто технический характер.

В теории бифуркаций описано большое число бифуркационных ситуаций. В развитии реальных природных систем могут наблюдаться не отдельные бифуркации, а целые каскады бифуркаций (классическим примером может служить возникновение турбулентности и других гидродинамических неустойчивостей). Кроме того, различают бифуркации и катастрофы. Существует даже теория катастроф. Однако, анализ связей и различий между ними выходит за пределы данного учебного пособия.

Очень важная черта бифуркаций: В момент времени, когда система находится вблизи точки бифуркации, огромную роль начинают играть малые возмущения значений ее параметров. Эти возмущения могут носить как чисто случайный характер, так и быть целенаправленными. Именно от них зависит, по какой эволюционной ветви пойдет система, пройдя через точку бифуркации. То есть, если до прохождения точки бифуркации, поведение системы подчиняется детерминистским закономерностям, то в самой точке бифуркации решающую роль играет случай.

Вследствие этого, по словам И. Пригожина, мир становится «загадочным, непредсказуемым, неконтролируемым». В определенном отношении это так. Но полностью с этим высказыванием нельзя согласиться, поскольку для любой системы в точке бифуркации имеется не произвольный, а вполне определенный набор путей эволюции. Поэтому даже если работает случайность, то она работает в строго определенном поле возможностей. И, следовательно, говорить о полной неопределенности и, тем более, полной загадочности некорректно. Что же касается неконтролируемости, то, конечно, говорить о тотальном контроле не имеет смысла, но в некоторых процессах возможно вмешательство как подталкивание к желаемым вариантам развития.

4. ХАОС