Теорема. Если задана точка М(х0, у0), то расстояние до прямой Ах + Ву + С =0 определяется как
Доказательство. Пусть точка М1(х1, у1) – основание перпендикуляра, опущенного из точки М на заданную прямую. Тогда расстояние между точками М и М1:
(1)
Координаты x1 и у1 могут быть найдены как решение системы уравнений:
Второе уравнение системы – это уравнение прямой, проходящей через заданную точку М0перпендикулярно заданной прямой.
Если преобразовать первое уравнение системы к виду:
A(x – x0) + B(y – y0) + Ax0 + By0 + C = 0,
то, решая, получим:
Подставляя эти выражения в уравнение (1), находим:
Угол между прямыми:
Даны уравнения двух прямых. Требуется найти угол между ними. Угол между двумя непараллельными прямыми α1 и α2 найдем как угол между направляющими векторами этих прямых при задании канонических уравнений для α1 и α2, или же как угол между их нормалями, если заданы общие уравнения прямых α1 и α2. |
Пусть заданы две прямые α1: и α2: .
Направляющие векторы этих прямых: и .
Угол φ между прямыми найдем из скалярного произведения векторов и : .
Пусть заданы общие уравнения прямых и : А 1 х+В 1 у+С 1 = 0 и А 2 х+В 2 у+С 2=0. Тогда нормали к этим прямым: и , и .
Если , то из и следует: .
Условием перпендикулярности прямых будет соответственно:
либо либо .
Из последнего равенства следует, что . Таким образом угловые коэффициенты двух перпендикулярных прямых обратные по величине и противоположны по знаку.
Условием параллельности прямых будет соответствовать:
либо либо .