Замечания. 1) Как мы видим, из пространства исключена ось (Oz)

1) Как мы видим, из пространства исключена ось (Oz). Действительно, если точка A лежит на оси (Oz), то ее проекция на плоскость a - это точка O, для которой не определены полярные координаты.

2) Геометрически, |z| для точки A - это расстояние от этой точки до плоскости a, при этом z > 0, если точка A лежит в фиксированном полупространстве П, и z £ 0 в противном случае.

Определение. Отображение v (*) будем называть цилиндрической системой координат в пространстве.

Определение. Числа r, j и z такие, что v (A) = (r, j, z) будем называть цилиндрическими координатами точки A.

Обозначение: в дальнейшем будем употреблять более распространенное обозначение, и вместо v (A) = (r, j, z) будем писать A(r,j,z).

Теорема. Цилиндрическая система координат - это биективное отображение.

Доказательство (провести самостоятельно).

Замечание.

В цилиндрической системе координат координатные поверхности r = const - это круговые цилиндры с осью (Oz), координатные поверхности j = const - это перпендикулярные плоскости a полуплоскости с границей (Oz), координатные поверхности z = const - это плоскости параллельные плоскости a или сама плоскость a.

Теорема. (О взаимосвязи декартовых и цилиндрических координат точки).

Пусть в пространстве введены цилиндрическая и декартова системы координат так, начало декартовой системы координат - это фиксированная точка цилиндрической системы координат, полярная ось l совпадает с положительным лучом оси (Ox), полуплоскость a’ содержит положительный луч оси (Oy), а оси (Oz) систем координат совпадают.

Тогда для любой точки плоскости (кроме точек на оси (Oz)) ее декартовы координаты (x,y,z) выражаются через ее цилиндрические координаты (r,j,z) по следующим формулам: x = r cos j, y = r sin j, z = z, при этом r² = x² + y².

Доказательство (аналогично случаю полярной системы координат).